집단지성/잡스9급/기출해설/두문암기

35년간 수학의 난제였던 'ABC 추측(또는 추론)'(ABC conjecture)이 증명됐다고 일본 교토(京都)대가 발표했다.아사히(朝日)신문과 니혼게이자이(日本經濟) 신문(닛케이) 등 일본 언론에 따르면 모치즈키 신이치(望月新一·51) 교토대 수리해석연구소 교수가 ABC 추측을 증명했다며 쓴 논문이 올바르다는 것이 확인돼 학술지 '피림스'(PRIMS) 게재가 결정됐다고 교토대가 전날 기자회견을 열어 밝혔다.  ABC 추측은 1985년 스위스와 프랑스의 수학자가 제창한 정수의 덧셈과 곱셈의 관계에 관한 설명으로 이를 증명하는 것은 '페르마의 마지막 정리'에 맞먹는 난제로 꼽혔다.  보도에 따르면 1 이외의 공약수가 없는 자연수(서로 소) A, B와 이 둘을 합한 C가 있을 때(A+B=C) A, B, C를..

큰 수의 법칙(law of large numbers, LLN) 경험적 확률과 수학적 확률 사이의 관계를 나타내는 법칙으로, 표본집단의 크기가 커지면 그 표본평균이 모평균에 가까워 짐을 의미한다. 따라서 취합하는 표본의 수가 많을수록 통계적 정확도는 올라가게 된다. 대수의 법칙이라고도 한다. 이는 일본어(大数の法則)를 중역한 용어이므로 한국인에게 직관적으로 와닿지 않고 대수학(algebra)의 대수(代數)와도 헷갈리기에 '큰 수의 법칙'이라는 표현을 사용하는 추세이다.   수학적으로 강법칙과 약법칙은 서로 다른 법칙이고, 실제로 강법칙이 훨씬 증명하기 어렵다. 다만 그 정확한 차이를 설명하는 것은 대학원 수준의 확률론 지식이 필요하고, 일상생활에서의 의미는 거의 차이가 없다고 보아도 무방하다. 이를 요약하..

소음과 진동의 구분소음과 진동은 파동/음향에서 비롯되는 조금 다른 현상이다. 법적, 공학적으로 이 둘을 구분하기도 한다. 법적 구분소음: 귀로 느껴지는 것.진동: 발로 느껴지는 것. 물리학/공학적 구분소음: 음향에너지가 기체를 통해 고막에 전달되는 현상.진동: 운동에너지와 위치에너지의 반복적인 변환상태. 매질소음: 기체진동: 고체   진동 소음과 수학, 공학진동은 고체에 의해 전달되는 흔들림이며, 소음은 최종매개체인 공기충의 압력변동에 의해 사람에게 전해지는 불쾌한 음이다. 음향은 불쾌한 의미가 없는 공기압 변동상태이지만 초음파는 고체음과 공기음을 모두 포함하여 말하는, 다시 말하면 20kHz이상의 고주파 진동-소음을 의미한다. 그러나 이 모든 음과 떨림의 구분은 물리학의 파동(wave)에서 출발하였으며..

인수분해 대수학 Algebra 인수분해, factorization, 因數分解 어떤 원소를 다른 원소의 곱으로 표현하는 것이다. 대부분 중3 단원에서 곱셈 공식 & 이차방정식과 함께 나온다고 하지만, 사실 초등학교 5학년 시절 나온 통분과 약분부터 이름만 안 알려졌을 뿐 이 때부터 존재가 알려지다가 중학교 1학년 때 분배법칙이 나오면서 일차식의 인수분해를 알게 되다가 중학교 3학년 때 그 이름이 공개된다.  정수 위에서의 인수분해  소인수분해를 하는 방법이 문단에서는 1보다 큰 어떤 정수  N N이 주어졌을 때, 10진법 표기에서 약수를 찾는 여러 가지 기술에 대해 소개한다. 먼저 사람의 입장에서 가장 쉬운 방법은 아래의 배수 판정법을 이용하는 것이다. 정수  N N에 대해서, 2의 배수: 일의 자리 숫..

벡터, vector, 영 벡터(Zero Vector), 단위 벡터(Unit Vector), 위치 벡터(Position Vector), 거리 벡터(Distance Vector), 법선 벡터(Normal Vector), 방향 벡터(Direction Vector), 동경 벡터(Radius Vector) 1. 벡터 (Vector)   ㅇ 이공학 분야에서 많이 사용되는 수학적인 양(量) 표현 기법      - 거리, 무게, 속력 등 크기만을 나타내는 1차원적인 양(量)인 스칼라와는 달리,      - 힘,속도 등과 같이 크기(量) 및 방향(方向) 등 2차원 이상의,      - 즉, 2 이상의 원소(요소)들에 의해, 어떤 양(量)을 표현하는데 유용한 표기법 2. 벡터의 여러 정의들   ㅇ 기하학적인 측면  :  ..

미적분(微積分) Differential and Integral Calculus Infinitesimal Calculus Calculus 미적분은 위와 같이 사용할 수 있다. 미적분은 미분과 적분을 합쳐서 부르는 표현인데, 미분과 적분은 각각 아래와 같이 쓴다. 미분 : Differential, Differentiation 적분 : Integral “미분 : 작게 나눈 부분의 변화율을 구하는 것” 미적분은 뉴턴이 자연 현상을 수학 공식으로 설명하기 위해서 만든 것이다. 미분의 미(微)는 “미세하게 작다”라는 뜻을 가지고 있다. 그래서, 미분은 “작게 나누다.”라는 뜻으로, 어떤 함수에서 아주 작은 구간을 나누어서 변화율을 연구하는 수학 “적분 : 아주 작은 구간을 합쳐서 쌓는 것” 적분의 적(積) 자는 “..

미적분(微積分)Differential and Integral CalculusInfinitesimal CalculusCalculus미적분은 위와 같이 사용할 수 있다. 미적분은 미분과 적분을 합쳐서 부르는 표현인데, 미분과 적분은 각각 아래와 같이 쓴다.미분 : Differential, Differentiation적분 : Integral“미분 : 작게 나눈 부분의 변화율을 구하는 것”미적분은 뉴턴이 자연 현상을 수학 공식으로 설명하기 위해서 만든 것이다. 미분의 미(微)는 “미세하게 작다”라는 뜻을 가지고 있다. 그래서, 미분은 “작게 나누다.”라는 뜻으로, 어떤 함수에서 아주 작은 구간을 나누어서 변화율을 연구하는 수학 “적분 : 아주 작은 구간을 합쳐서 쌓는 것”적분의 적(積) 자는 “누적하여 쌓다.”..

물리학-수학 관계물리학을 성립시키기 위해 현상을 해석하는 인간의 인식이 객관성을 확보하는 데에 있어 지표와 규칙이 반드시 필요하기 때문이다. 숫자는 실제하지 않지만 그 숫자로 표현되는 에너지의 양은 실체다. 수학과 물리학의 관계는 도구와 설계도의 관계    Physics is the language of the universe, mathematics is the language of all sciences 물리학은 우주의 언어다. 수학은 모든 과학의 언어다. - 리처드 본드 박사, 캐나다 이론 천체물리연구소 소장 Those who do not know math do not know the true beauty of nature 수학을 모르는 사람은 자연의 진정한 아름다움을 알 수 없다. - 리처드 파인만..

12진법, 十二進法, duodecimal, base 1210진법처럼 숫자를 기록하는 방식이다. 1과 그 자신을 제외하면 2와 5로만 나눠지는 10에 비해, 12는 4 이하의 모든 자연수의 최소공배수로, 2, 3, 4, 6으로 나눠지므로 등분이 편리해 일상 생활에서 12를 한 단위로 사용되는 곳이 제법 있었다. 표현법16진법과 마찬가지로 아라비아 숫자만으로 다 표현할 수 없기 때문에, 수식으로 표현하기 위해서는 추가적인 기호를 사용해야 한다. 12진법은 다른 진법에 비해 수식에서 자주 쓰이지 않기 때문에 12진법이라는 것을 미리 알려야 한다.0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B18976은 10×123+11×122+9×12+4이므로 AB94로 나타낼 수 있다. 시간 단위시계, 달력,..

60진법, 六十進法, sexagesimal, base 6060을 한 묶음으로 하여 자릿수를 올려가는 방법이다. 예전부터 60진법을 사용해 왔는데, 60이 대표적인 진법 수 10과 12의 최소공배수이며 6 이하의 모든 자연수의 최소공배수라 나누기가 쉽고, 따라서 아래처럼 약수가 12개나 된다. 12진법과 마찬가지로 시간을 재는데에 주로 등장하며 한 단위가 워낙 크다보니 진법을 이용한 계산에는 별로 활용되지 않는 이용한자문화권에서 육십갑자로 사용된다. 십간과 십이지를 함께 사용하여 육십갑자라고 하며, 1갑자는 60년을 뜻한다. 과거 한자문화권의 역사를 새길 때 육십갑자를 사용했다. 옛날 바빌로니아에서 사용된 수를 나타내는 방법의 하나로 알려져 있다.시간 단위로 사용된다. 60초를 1분, 60분을 1시간으로 ..

회귀 분석, 回歸分析, regression analysis, 단순회귀분석, 다중회귀분석 통계학에서 회귀 분석(回歸分析, 영어: regression analysis)은 관찰된 연속형 변수들에 대해 두 변수 사이의 모형을 구한 뒤 적합도를 측정해 내는 분석 방법이다. 회귀분석은 시간에 따라 변화하는 데이터나 어떤 영향, 가설적 실험, 인과 관계의 모델링등의 통계적 예측에 이용될 수 있다. 그러나 많은 경우 가정이 맞는지 아닌지 적절하게 밝혀지지 않은 채로 이용되어 그 결과가 오용되는 경우도 있다. 특히 통계 소프트웨어의 발달로 분석이 용이해져서 결과를 쉽게 얻을 수 있지만 분석 방법의 선택이 적절했는지 또한 정보 분석이 정확한지 판단하는 것은 연구자에 달려 있다. 전개 하나의 종속변수와 하나의 독립..

● 푸리에 변환 (Fourier transform: 조제프 푸리에 1822)] 푸리에 변환(Fourier transform)은 임의의 입력 신호를 다양한 주파수를 갖는 sin, cos 삼각 함수 등으로 이루어진 주기 함수들의 합들로 분해하여 표현하는 변환을 말한다. 입력 신호는 음성 신호나 전파 같은 시간 함수일 수 있으며 공간에 대한 함수가 될 수 있다. 푸리에 변환이 세상을 바꾼 이유는 입력신호와 상관없이 주기 함수들의 합으로 항상 분해할 수 있다는 점이다. 푸리에 변환을 통해서 원본 신호를 구성하는 주기 함수들은 고유의 주파수(frequency)와 강도(amplitude)를 지니고 있으며 주기 함수들을 모두 합치면 원본 신호와 같아진다. 푸리에 변환은 프랑스의 천재 수학자 조제프 푸리에가 고안해 냈..

● 허수 (The square root of minus one; imaginary number: 르네 데카르트 그리고 레온하르트 오일러 1637, 1750) 허수는 현대에서 없어서는 안될 숫자 중 하나로 수의 개념을 확장시킨 존재이다. 적분을 고안해낸 두 천재 중 하나인 라이프니츠는 허수에 관해서 ‘존재와 비존재 사이에 있는 존재로 마치 양서류 같은 존재’라고 표현하며 성스럽고 놀라운 영혼의 피난처라고 덧붙인 바 있다. 도대체 허수는 무엇이길래 이토록 미묘한 표현을 썼을까? 허수는 제곱을 해서 -1되는 수를 일컫는다. 실수(real number)를 제곱하면 0 또는 양수가 나오는데 제곱해서 -1이 된다니 이건 보통의 숫자와 달라도 뭔가 한참 다르다. 허수의 역사는 사실 매우 오래되었다. 고대 그리스의 기..

● 피타고라스 정리(Pythagorean theorem : 피타고라스, 530 BC) 피타고라스 정리는 직각삼각형에서 빗변(직각삼각형에서 가장 긴 변)의 길이의 제곱이 나머지 두 변의 길이 제곱의 합과 같다는 공식이다. 삼각형의 가장 긴 변은 가장 큰 각을 마주 보고 있으며, 가장 짧은 변은 가장 작은 각을 마주 보고 있게 된다. 이 공식은 고대 그리스의 철학자이자 수학자였던 피타고라스가 발견한 공식으로 현재 위 공식에 관한 증명만 해도 400여 가지에 이르고 있다. 두 변의 길이가 주어진다면, 나머지 한 변의 길이를 쉽게 구할 수 있기에 위 공식은 건축, 건설, 구조 탐색, 항해 및 측량 등에 두루두루 쓰이고 있다. 예를 들어서, 경사진 지붕을 제작하고 있을 때 지붕의 높이와 가로 길이를 알고 있다면 ..

소수의 중요한 성질과 생활에서의 적용 소수는 1과 자기 자신 이외의 다른 양의 정수로 나누어지지 않는 1보다 큰 정수, 더 이상 분해 할 수 없는 수를 말합니다. 소수라는 수학적 용어에 많은 사람들은 수학조차 흥미를 가지는 사람이 많지 않기 때문에 그런 사람들이 흥미를 가지게 하기 위해서 주변에서 자주 볼 수 있지만 잘 알지 못했던 사실을 소개하면서 시작하겠습니다. 매미는 한 여름에만 맴~맴~하고 우니까 짧게 사는 같이 보이지만 그렇지 않습니다. 매미는 상당히 오래 사는 곤충입니다. 매미는 식물의 조직 속에 알을 낳는데, 우리나라에서 서식하고 있는 유지매미와 참매미는 산란한 후 7년이 지나야 성충이 되고, 늦털매미는 5년이 되어야 성충이 된다고 합니다. 매미탑이라는 북아메리카에 사는 매미는 산란한 후 1..

방정식, 方程式, equation 2X + 5 = 9. ​ 영어에서는 equation, 우리말로는 방정식(方程式) 영어에서 이것을 equation이라고 부르는 것은, 왼변과 오른변이 같기 때문 ​ 구장산술(九章算術) ​방정(方程)이라는 말은 중국의 고대 수학책인 구장산술(九章算術)에 나오는 말 ​ 구장산술(九章算術)을 처음 지은 이는 알려져 있지 않으며, 다만 한나라 때 장창(張蒼)과 경수창(耿壽昌)이 각각 책을 첨삭하여 편찬했다는 기록 ​구장산술(九章算術)은, 그 이름에서 보듯이, "아홉 글로 이루어진 산술 서적"이라는 뜻인데, 여덟째 글의 제목이 바로 방정(方程)이다. ​ ​ 핵심 글자들 ​ 원래 구장산술에는 방정의 뜻에 관한 설명이 없었지만, 위나라(魏) 학자 유휘(劉徽)[6]가 서기 263년에 쓴..

함수, 函數, function 수학에서 두 집합 사이의 관계를 설명하는 논리적 개념 간단하게 정의역의 원소마다 공역의 원소가 오직 하나씩 대응되는 관계를 말한다. 수학적 구조를 정의할 때는 물론 현실의 다양한 분야에서도 응용된다. 수학에서 함수(函數, 영어: function) 또는 사상(寫像, 영어: map, mapping)은 어떤 집합의 각 원소를 다른 집합의 유일한 원소에 대응시키는 것이다. 즉, 한 변수의 값에 따라 정해지는 다른 변수의 값을 먼저 주어지는 값에 상대하여 일컫는 말이다. 예를 들면, 집합 X의 원소 x 한 개에 집합 Y의 원소 y 한 개가 대응하는 관계를 의미한다. 거꾸로 y 한 개가 x 여러 개에 대응하는 관계도 함수라고 한다. 일상에서의 함수 보통 함수 하면 실수 집합(의 부분집..

미적분(微積分)Differential and Integral CalculusInfinitesimal CalculusCalculus미적분은 위와 같이 사용할 수 있다. 미적분은 미분과 적분을 합쳐서 부르는 표현인데, 미분과 적분은 각각 아래와 같이 쓴다.미분 : Differential, Differentiation적분 : Integral“미분 : 작게 나눈 부분의 변화율을 구하는 것”미적분은 뉴턴이 자연 현상을 수학 공식으로 설명하기 위해서 만든 것이다. 미분의 미(微)는 “미세하게 작다”라는 뜻을 가지고 있다. 그래서, 미분은 “작게 나누다.”라는 뜻으로, 어떤 함수에서 아주 작은 구간을 나누어서 변화율을 연구하는 수학 “적분 : 아주 작은 구간을 합쳐서 쌓는 것”적분의 적(積) 자는 “누적하여 쌓다.”..

대수학, 代數學, algebra, 어원 대수학(代數學, algebra)은 일련의 공리들을 만족하는 수학적 구조들의 일반적인 성질을 연구하는 수학의 한 분야이다. 이렇게 일련의 추상적인 성질들로 정의되는 구조들을 대수 구조라고 하며, 그 예시로 반군, 군, 환, 가군, 체, 벡터 공간, 격자 등이 있다. 대수학은 취급하는 구조에 따라서 반군론, 군론, 환론, 선형대수학, 격자론, 정수론 등으로 분류된다. 기하학, 해석학, 정수론과 함께 대수학은 수학의 대분야 중 하나로 볼 수 있다. 대수학이란 용어는 단순한 산술적 수학을 가리키기도 하나, 수학자들은 군, 환, 불변량 이론과 같이 수 체계 및 그 체계 내에서의 연산에 대한 추상적 연구에 대해서 "대수학"이라는 용어를 자주 사용한다. 어원 algebra라는 ..

파피루스 나일 강이 있는 이집트에서는 기원전 약 7000년 무렵에 도시가 생겨나면서 문명의 꽃을 피우기 시작했다. 사람들은 농사를 짓는데 필요한 물이 풍부한 나일 강을 따라 정착했다. 나일 강은 해마다 우기가 되면 강물이 범람해서 여러 가지 문제를 일으키기도 했지만, 넘친 물은 땅을 비옥하게 했다. 나일 강 유역에는 우리나라 강가에서 많이 자라는 갈대와 같은 식물이 많았는데, 이 식물을 '파피루스'라고 불렀다. 이집트 사람들은 이 파피루스에 여러 기록을 남겼다. 지금까지 발견된 파피루스 중 가장 유명한 것은 역사 기록가 아메스(Ahmes)가 쓴 파피루스, 즉 '아메스 파피루스'이다. 1858년 영국의 고고학자 린드(Henry Rhind)가 이집트 도시 근처에서 발견해서 '린드 파피루스'라고 하기도 한다...

1.공리(axiom) 증명 없이도 참으로 받아들일 수 있는 명제. 《유클리드 기하학에서 두 점이 주어졌을 때, 두 점을 지나는 직선이 있다》 등의 명제는 자명하므로 공리이다. ※ 단, 각각의 공리가 증명이 필요 없는 자명한 명제라 하더라도 여러 공리가 함께 존재하는 공리계에서는 그 공리가 문제가 될 수 있다. 괴델(Kurt Gödel)의 불완전성 정리에 따르면 완전하고 모순이 존재하지 않는 공리계는 없기 때문이다. 2. 정의(definition) 일반적으로 정의는 용어에 대한 약속을 의미한다. 예컨대 세 변으로 만들어진 도형은 삼각형이라고 정의하며, 삼각형 중 한 내각의 크기가 90°인 삼각형은 직각삼각형으로 정의한다. 정의는 따라서 증명할 필요 없이 언제나 참이 된다. 3. 정리(theorem) 공리 ..

피타고라스가 직각삼각형 등에 대한 특별한 정리(定理, theorem)를 발견했다면, 유클리드는 수학하는 방법을 창조했다. 그는 점, 선, 면, 원, 각, 삼각형, 평행선 등 기하학에 필요한 기본 소재들의 개념을 정의(定義, definition)한 후 증명이 필요없는 공리(公理, axiom) 및 공준(公準, postulate)을 세웠다. 공리란 많은 사람(公, public)이 인정하는 기본 이치이며, 공준도 많은 사람이 승인하는(準) 기본 가정이다. 몇몇 뻔하며 당연한 정의들과 공리들로부터 출발해 유클리드는 다양한 명제를 연역적으로 증명하며 정리를 유도했다. 이는 수학이라는 학문의 일반적 체계화를 이룩한 대업이었다. 유클리드 기하학(-幾何學, Euclidean geometry)은 고대 그리스의 수학자 에우..

괴델의 불완전성 정리(영어: Gödel’s incompleteness theorems)는 수리논리학에서 페아노 공리계를 포함하는 모든 무모순적 공리계는 참인 일부 명제를 증명할 수 없으며, 특히 스스로의 무모순성을 증명할 수 없다는 정리다. 수학에서 참이란 무엇인가? 수학은 무모순한가? 수학이 무모순하다면 그것은 증명가능한가? 20 세기초 제기된 이같은 일련의 물음에 대해 명쾌한 답을 준 것은 실로 무명의 수학자 Kurt Gödel 이며 그의 나이 불과 25세 때이다. 그가 빈 과학아카데미의 "수학.물리학월보"에 한 편의 논문을 발표한 것은 1931년의 일이다. 빈 대학에 취직 논문으로 제출된 이 논문은 후일 학계와 많은 사상가를 놀라게 한 불완전성 정리(incompleteness theorem)에 관한..

서양 철학의 관점에서는 지금도 수학이 실재하는 것인지, 구성된 것인지에 대한 실재론과 구성론의 논쟁이 이어지고 있습니다. 많은 수학자들은 수학이 실재한다고 믿는 것 같습니다. 연구를 하다 보면 수학이 실재하지 않는다면 맞아떨어지기 힘든 것들이 성립하는 경우를 종종 보게 되기 때문이죠. 우리가 새로운 개념이나 정리를 발명하는 것이 아니고 이미 실재하는 수학적 세상을 탐험한다는 느낌이 더 강합니다. 콜럼버스가 더듬더듬 미지의 세계를 찾아 나섰듯 기하학자들도 매일 기하학의 바다로 탐험을 다니는 것이지요. 대표적으로 플라톤, 디오돈네, 펜로즈, 칸토어, 데카르트와 같은 분들이 실재론을 지지한 수학자들입니다. 반대로 로크나 흄과 같은 경험주의 철학자 또는 현대 뇌과학자들의 경우 수학적인 대상은 수학자나 그것을 이..

수학 분류 : 대수학(Algebra), 기하학(Geometry), 해석학(Analysis), 위상수학 (Topology), 응용수학(Applied Mathematics) 대수학(Algebra) 19세기 이전까지의 대수학의 주된 내용은 정수론과 방정식의 해법이었다. 그러나, 아벨과 갈로아가 5차 이상의 방정식의 대수적 해법이 불가능함을 보이는 데 군과 체의 개념을 사용하면서 다양한 대수계가 탄생하였다. 대수계는 몇 가지 공리를 만족하는 연산을 갖춘 집합으로서, 군, 환 및 가군, 벡터공간, 체, 카테고리 등 많은 대수계의 구조론을 연구하는 것이 대수학이다. 이들 이론은 그 자체로서 중요할 뿐만 아니라, 대수적 방법론을 통하여 해석학, 기하학, 위상수학의 발전에 지대한 영향을 미쳤다. 최근에는 이론물리학, ..

데카르트 수학 업적, 좌표계, 해석기하학, 기하의 대수화, 와동이론 르네 데카르트, 1596년 3월 31일 - 1650년 2월 11일)는 프랑스의 철학자, 수학자, 과학자, 근대 철학의 아버지, 해석기하학의 창시자로 불린다. 그는 합리론의 대표주자이며 본인의 대표 저서 《방법서설》에서 ‘나는 생각한다, 고로 존재한다.(Cogito ergo sum)’는 계몽사상의 '자율적이고 합리적인 주체'의 근본 원리를 처음으로 확립한 것으로 유명하다. 1606년 예수회가 운영하는 라 플레쉬 콜레주(Collège la Flèche)에 입학하여 1614년까지 8년간에 걸쳐 철저한 중세식 그리고 인본주의 교육을 받게 된다. 1626년부터 2년 동안 수학과 굴절광학을 연구하며 미완성 논문 을 썼다. 1628년 말, 네덜란드로..