소수의 중요한 성질과 생활에서의 적용
소수는 1과 자기 자신 이외의 다른 양의 정수로 나누어지지 않는 1보다 큰 정수, 더 이상 분해 할 수 없는 수를 말합니다.
소수라는 수학적 용어에 많은 사람들은 수학조차 흥미를 가지는 사람이 많지 않기 때문에 그런 사람들이 흥미를 가지게 하기 위해서 주변에서 자주 볼 수 있지만 잘 알지 못했던 사실을 소개하면서 시작하겠습니다. 매미는 한 여름에만 맴~맴~하고 우니까 짧게 사는 같이 보이지만 그렇지 않습니다. 매미는 상당히 오래 사는 곤충입니다. 매미는 식물의 조직 속에 알을 낳는데, 우리나라에서 서식하고 있는 유지매미와 참매미는 산란한 후 7년이 지나야 성충이 되고, 늦털매미는 5년이 되어야 성충이 된다고 합니다. 매미탑이라는 북아메리카에 사는 매미는 산란한 후 13년이 지나야 성충이 되는 것과 17년이 지나야 성충이 되는 것, 두 종이 있습니다. 이처럼 대부분의 매미는 산란에서 성충이 되기까지 삶의 주기가 보통 5년, 7년, 13년, 17년인데, 이것은 흥미롭게도 삶의 주기가 모두 소수가 된다는 흥미로운 사실을 알 수 있습니다.
매미의 수명은 왜 소수일까?
그 이유를 설명하는 데에는 두 가지 학설이 있습니다. 첫 번째, 소수를 생의 주기로 삼으면 천적을 피하기 쉽다는 것입니다. 예를 들어 매미의 삶의 주기가 6년이고 천적의 삶의 주기가 2년 또는 3년이라면 매미와 천적은 6년마다 만나게 됩니다. 또한 삶의 주기가 4년인 천적과는 12년마다 만나게 됩니다. 그렇지만 매미의 삶의 주기가 7년이라면, 삶의 주기가 2년인 천적과는 매 14년마다 만나게 되고, 삶의 주기가 3년인 천적과는 21년마다 만나게 되며, 4년인 천적과는 28년마다 만나게 됩니다. 이렇게 되면 매미는 종족번식을 위한 보다 많은 시간과 기회를 얻게 되는 것입니다.
또 다른 학설은 동종간의 경쟁을 피하기 위해 스스로 삶의 주기를 조정한다는 것입니다. 모든 매미들의 삶의 주기가 같아서 겹치게 되면 그만큼 먹이를 둘러싼 생존경쟁이 치열해질 것입니다. 따라서 많은 종의 매미가 많은 자손을 퍼뜨리려면 동시에 출현하지 않는 것이 서로에게 유리하게 됩니다. 결국 주기를 소수로 하면 그 만큼 서로 만나서 경쟁하는 횟수가 줄어들게 됩니다. 예를 들어, 5년 주기인 매미와 7년 주기인 매미는 35년마다 만나게 되고, 13년 주기인 매미와 17년 주기인 매미는 221년마다 만나게 되므로 서로에게 그만큼 종족번식의 기회가 많아지게 됩니다. 이와 같이 매미는 천적으로부터 종족을 보존하기 위하여 또는 먹이를 둘러싼 동종간의 경쟁을 피하기 위하여 소수를 삶의 주기로 진화해왔다고 합니다.
소수, 쪼갤래야 더 이상 쪼갤 수 없는 아주 단단한 수
어떤 물질을 이루는 기본 단위인 ‘원자(atom)’는 ‘더 이상 나누거나 분해할 수 없는 물질’이라는 뜻입니다. (현재에는 원자보다 더 작은 입자가 있다는 사실이 알려져 있습니다). 물질에서 원자와 같은 개념을 수학에 적용한 것이 소수입니다. 즉, 어떤 수를 분해할 때 ‘더 이상 분해할 수 없는 수’를 소수라고 생각하면 됩니다. 소수(prime number)의 수학적 정의는 1과 자기 자신 이외의 다른 양의 정수로 나누어지지 않는 1보다 큰 정수(p)입니다. 한편 1보다 큰 정수 a가 소수가 아닐 때, a를 합성수(composite number)라고 합니다. 이와 같이 소수가 모든 정수의 기본이 되는 수라는 것을 설명해 주는 것이 ‘정수론의 기본정리’입니다.
소수의 정의는 다음과 같다.
어떤 양의 정수 p 에 대해, p 의 양의 약수가 1 과 p 뿐이고, p>1 이면 p 를 소수라고 한다. 이와 반대로, 1 보다 큰 정수 중 소수가 아닌 수를 합성수 (composite) 라고 한다. |
위처럼 정의된 소수는 일반적인 정수를 분석하는 과정에서 여러 도움을 준다.
예를 들어, 아래와 같은 정리를 보자.
p 가 소수이고, p∣ab 이면 p∣a 또는 p∣b 가 성립한다. |
Proof :
p∣ab 일 때, p∣a 이면 더 이상 증명할 것이 없다. 만약 p∤a 라면, p 의 양의 약수는 1 과 p 뿐이므로 gcd(p,a)=1 이다. 따라서, 유클리드 보조정리에 의해 p∣b 가 성립한다.
위의 정리를 통해 아래의 두 가지 정리를 쉽게 얻을 수 있다.
p 가 소수이고 p∣a1a2⋯an 이면 1≤k≤n 인 어떤 정수 k 에 대해 p∣ak 이다. |
Proof :
수학적 귀납법을 사용하자. 만약 n=1 이면 이는 지나칠 정도로 자명하다.
n=2 라면 위에서 쓴 정리 그대로이다.
어떤 자연수 k 에 대해, p∣a1a2⋯ak 이면 1≤b≤k 인 어떤 정수 b 에 대해 p∣ab 라고 가정하자.
이제 n=k+1 일 때, p∣a1a2⋯ak+1 이면 위의 정리에 의해 p∣a1a2⋯ak 또는 a⋯ak+1 인데
p∣a1a2⋯ak 는 앞선 가정에 의해 1≤b≤k 인 어떤 정수 b 에 대해 p∣ab 이다.
따라서, 원래 명제는 수학적 귀납법에 의해 모든 정수 n 에 대해 성립한다.
두 번째 명제는 이 정리를 이용하면 짧게 증명할 수 있다.
p,q1,q2,⋯,qn 이 소수이고, p∣q1q2⋯qn 이면 1≤k≤n 인 어떤 정수 k 에 대해 p=qk 이다. |
Proof :
위의 정리에 의해 1≤k≤n 인 어떤 정수 k 에 대해 p∣qk 를 만족한다. 그런데 qk 는 소수이므로 1 과 자기 자신을 제외한 어떤 양의 정수로도 나누어지지 않는다.
그런데 p>1 이므로 p=qk 이다.