형식과학
논리학
Logic
수학
Mathematics
통계학
Statistics
시스템 과학
System Science
이론 컴퓨터 과학
Computer Science
먼저 본 연구가 무엇에 대한 것이며 무엇을 위한 것임을 밝히자면, 이는 논증에 대한 것이며 논증에 관한 학문을 위한 것이다.
아리스토텔레스, 『분석론 전서』
논리학, 論理學, Logic
논리학은 "무엇이 올바른 추론인가?"라는 문제를 해결하기 위해 출발한 학문이다. 연역추론과 귀납추론이 논리학에 속하는 대표적인 주제이며, 추론을 구성하는 명제, 그리고 이를 다시금 구성하는 개념 역시 논리학의 전통적인 연구 주제다.
고대 그리스에서 아리스토텔레스가 처음으로 고안한 학문이며, 19세기 유럽 조지 부울, 고틀로프 프레게, 버트런드 러셀 등의 업적을 통해 수학과 매우 밀접한 관계를 맺게 되었다. 이는 20세기에 수리 논리학이라는 형태로 결실을 맺었다.
논리학, 특히 형식 논리학은 철학, 수학, 언어학, 컴퓨터과학 등에서 걸쳐 두루두루 연구되고, 따라서 대학 과목 역시 여러 대학교의 철학과, 수학과, 컴퓨터공학과에서 두루두루 개설된다. 논리학은 수학에서 '수학 기초론'으로서 연구되는 편이고, 컴퓨터과학에서는 논리회로부터 시작해서 프로그래밍 언어에 이르기까지 다양한 분야에 걸쳐 응용된다. 철학은 논리학을 전통적으로 연구해 온 분야답게 형이상학, 수리철학, 언어철학 등 각 여러 분야에 접목된다.
논리학 영역
형식논리학(Formal logic)
논증을 구성하는 명제/진술 등의 내용에 관심을 두는 것이 아니라 그 형식에 초점을 두어 연구하는 학문. 추상적인 형식에 초점을 기울이니만큼 현대에는 당연히 수학적 기법과 기호 등을 도구로 삼아 이루어진다. 실질적으로 학계에서 "논리학"이라고 할 때에는 형식 논리학을 가리킨다고 볼 수 있다.
형식논리학에서 쓰는 논리식은 일상에서 쓰는 말을 추상화시킨 것이지만, 일상 언어 표현과 형식 논리 정식 간에는 의미상의 괴리가 있을 수 있다. 예를 들어 표준 논리의 논리식인 실질 조건문 p→q 내지는 p Ɔ q는 자칫 한국어 문장 "만약 p이면 q이다" 혹은 영어 문장 "If P, then Q"와 의미가 똑같은 것으로 오해하기 쉽지만 그 의미상 다를 수 있다.
표준 논리
Standard logic. 동일률(ϕ→ϕ), 배중률(ϕ∨¬ϕ), 무모순율(¬(ϕ∧¬ϕ)) 등을 비롯한 전통적인 논리적 법칙들 혹은 공리들을 받아 들이는, 말 그대로 표준적인 논리체계. "고전 논리(Classical Logic)"이라고도 불린다. 아리스토텔레스의 삼단논법 및 고틀로프 프레게의 수리 논리학이 모두 표준 논리에 해당한다.
철학과의 전공 과목이나 수학과의 수리논리나 기호논리학에서 명제논리와 1차 술어 논리(1st order logic)를 시작으로 기본적으로 배우게 되는 논리 체계. 이 과정에서 일상언어(혹은 수학의 언어)의 형식언어로의 번역, 형식 논리학의 추론규칙, 의미이론 등을 배우게 된다.
비표준 논리
Non-standard logic. (i) 표준 논리에 새로운 공리/추론규칙을 추가하거나 (ii) 표준 논리의 공리/추론규칙 대신 다른 공리/규칙을 채택한 언어 및 논리체계를 통틀어 이르는 말. 즉 비표준 논리에서 채택되는 형식언어들은 표준적인 형식언어들과는 다른 의미체계를 갖는다. 그중 유명한 예시들을 들자면 다음과 같다:
다치논리(many-valued logic): 명제/문장이 참(T)과 거짓(F) 말고도 다른 진리치를 가질 수 있는 논리 체계. 즉 이가원리(principle of bivalence)를 받아 들이지 않는 체계다. 대표적으로 3가지 진리치를 인정하는 3가 논리(혹은 3진 논리)가 있다.
퍼지 논리(fuzzy logic): 다치 논리의 일종. 진리치가 참과 거짓만이 아니라 연속 폐구간 [0,1] 가운데 어느 한 실수이면 되는 논리체계. 즉 참과 거짓으로 딱 나뉘어 떨어지지 않는 경우를 설명하기에 적합하다.
직관 논리(intuitionistic logic): 대략 '명제 ϕ는 참이다'를 'ϕ는 증명가능하다'로 대체하는 논리 체계. 직관주의 수학철학의 영향을 받아 이론화되었으며, 대표적인 특성으로 표준 논리의 법칙인 배중률(ϕ∨¬ϕ)을 거부하는 점이 있다. 오해하기 쉽지만, 다치 논리의 일종인 것은 아니다.
초일관 논리(paraconsistent logic): 고전 논리나 직관주의 논리 등에서는 폭발 원리(ex falso quodlibet, A∧¬A⊨B)를 받아들인다. 요컨대 모순을 받아들인다면 그 어떤 임의의 명제도 참이 된다는 것이다. 초일관주의 논리에서는 이런 폭발 원리를 거부한다. 이는 곧 참인 모순이 있다는 입장인 양진주의(dialetheism)를 옹호하는 기반이 된다.
양상논리(modal logic): "필연적이다", "가능하다" 같은 표현을 다루기 위해 표준 논리학에 양상연산자(modal operator)를 도입하여 만들어진 논리 체계. 시제를 다루기 위한 '시제 논리', 의무를 도입하기 위한 '당위 논리' 등 역시 양상 논리에 포함된다.
양자논리(quantum logic): 양자역학의 상태 공간의 대수적인 이론을 논리학적으로 해석하는 이론이다. 양자 논리는 고전 논리(불 대수)와 여러 성질들을 공유하지만, 고전 논리의 분배법칙이 양자 논리에서는 일반적으로 성립하지 않는다.
철학적 논리학(philosophical logic)이란 표준/비표준 논리를 막론하고 철학의 여러 분야에서 유용하게 쓰이는 논리 체계들 및 그에 관한 논리철학적 연구를 포괄적으로 일컫는 말이다. 예컨대 양상논리는 타 분야보다도 철학에서 특히 많은 관심을 갖는 논리체계이며, 부사구 수식이나 사건 존재론 등에서 나타나는 논리적 문제를 다루기 위해서 고안된 논리체계 또한 있다.(가령 의도를 연산자로 도입하는 체계가 있다.)
메타논리학
Metalogic. 메타논리학이란 논리체계에 대해서 성립하는 속성들을 탐구하는 논리학의 중요한 영역이다. 쿠르트 괴델의 불완전성 정리 이후 본격적으로 발전하기 시작했다. 잘 알려진 괴델의 불완전성 증명 역시 이들 연구에 빚짐과 동시에 큰 영향을 끼쳤다. 뿐만 아니라, 메타논리의 성과는 컴퓨터과학의 발전에도 큰 영향을 주었다. 대표적인 메타논리적 속성으로 완전성(completeness), 건전성(soundness), 조밀성(compactness) 등의 속성이 있다. 메타논리학의 연구영역으로 크게 4가지 영역이 있다.
계산가능성 이론(회귀함수 이론)
어떤 것이 기계적으로 계산 혹은 결정 가능한지에 대해서 탐구하는 분야. 잘 알려진 튜링 머신에 관련된 논의가 이루어지는 영역이다. 어떤 형식 체계에서 주어진 문제가 튜링 머신을 통해서 해결가능한지의 문제나 어떤 해결방법이 튜링 머신의 해결방법과 동등한지 등의 문제들을 다룬다. 결정가능성(decidability) 역시 중요한 주제 중 하나다.(어떤 일관적인 형식 체계에서 주어진 문장이 그 체계의 정리(theorem))인지 아닌지를 결정하는 기계적, 혹은 유한한 절차가 존재할 때 그 체계를 결정가능한 체계라고 한다.)
모형 이론
어떤 체계의 언어표현의 의미에 대해서 다루는 분야다. 주로 1차언어의 표현의 의미와 그 구조에 대해서 탐구하는 분야이다. 주로 귀결개념과 관련된 문제들을 다룬다.
증명 이론
모형이론이 언어표현의 의미에 대해서 다룬다면 증명이론은 언어표현 자체에 대해서 다루는 구문론적 영역이다. 주로 증명의 구조에 대한 탐구가 이루어진다.
집합론
넓은 의미에서 논리학에 포함되기도 한다.
비형식논리학(Informal logic)
일상적으로 우리가 말하고 듣고 쓰는 말이 타당하고 합당한 논증으로서 잘 성립하는지 따지는 것. 즉 흔히들 "난 논리적인 사람이야!"라고 말할 때, 논술에서 "글을 논리적 흐름에 맞춰서 써라!"고 말할 때 "논리적"이라는 것은 비형식 논리를 기준으로 따지는 경우가 대부분이다.
가령, <논점일탈의 오류>, <인신공격의 오류>, <피장파장의 오류>, <허수아비 공격의 오류> 등이 비형식 논리학에서 다루는 것들이다.
이처럼 비형식 논리는 구체적인 말의 내용을 따지는 것이므로 수학이나 기호 등을 동원하는 형식적인 방법론을 잘 취하지 않는다. 비형식논리학은 언어적, 주로는 일상언어적 논증을 효율적이고, 적확하게 분석하기 위한 논리학의 제일목적을 달성하는 데 있어 이전의 형식논리학이 연역지상주의에 빠짐으로써 생긴 목적과의 괴리를 보완 및 해결하기 위한 해결책 내지 새로운 이론적 관점으로 제시된 것이다. 다시말해, 학문적 전이성(transitionality, breadth), 활용범위(application range)의 외연적 기준으로 논리학의 범주를 비형식논리학과 형식논리학을 나눈 것이므로 좁은 범위의 논리학과 형식논리학은 동치이다. 다소 과격한 비유지만, 형식논리학을 과학에, 비형식논리학을 공학에 비유한다면 이해가 쉬울 수 있다.
다만, 논증평가 규범(기준), 논증구조 분석의 준거틀로서 지지도 분석, 논증평가의 규범으로서 존재하는 RSA삼각형 등에서 조합론(주로 조건부확률의 변형), 수리논리학-집합론-추상대수학의 결합적 사고로부터 견인되는 언어학과 수학의 대응은 수학의 용어를 빌지 않더라도 그와 동일한 사고구조와 사고력을 사용하고 있음을 시사한다.
흔히 대학의 교양 과목으로 개설되는 교양 수업에서 주로 비형식 논리를 중점적으로 배울 수 있다.
논리적 오류/비형식적 오류
변증논리학(Dialectical logic)
소크라테스가 정립하고 헤겔과 마르크스주의자 전통(Marxist tradition) 내에서 개발되어 발전된 사고의 논리 체계. 형식논리학이 모순을 부정하는 데에 반해, 변증논리학은 모순의 필연성을 승인한다. 변증논리학 체계를 계승하는 관념론 헤겔주의와, 변증법적 유물론 학파가 이에 기반한다.
고대 그리스의 논리적 사유는 엘레아의 제논 및 프로타고라스, 고르기아스 등 소피스트 사상가들에게서 그 원류를 찾을 수 있으나, 그것이 일정한 학문으로 정립된 것은 아리스토텔레스에 이르러서다. 어떤 연구자들은 아리스토텔레스는 순전히 무에서 유를 창조했다고 주장하나, 당장 밑에 참고 도서로서 제시되어 있는 닐 부부의 논리학의 역사조차 플라톤에게 한 장 전체를 할애하고 있다. 즉 아리스토텔레스가 순전히 무에서 유를 창조했다고 주장하는 것에 대해 어떤 연구자들이 명확히 반대하고 있다는 것은 확실히 할 수 있다. 또한 논리학의 역사에서 말하길 고전 논리 전체를 아리스토텔레스가 완성했다고 종전에는 생각되었으나, 적극적인 논리학사 연구를 통해 열심히 살펴보니 아리스토텔레스 이후의 기여도 상당히 많이 있다고 한다. 그래도 이런 연구들이 증명하는 것은 생각보다 아리스토텔레스의 공헌도가 조금 작았다는 거지, 아리스토텔레스가 체계 자체를 세우다시피 한 것은 사실이며 《명제론》, 《범주론》 등 함께 뭉쳐져 『오르가논』이라고 불리는 아리스토텔레스의 저작들에서 삼단논법을 비롯한 고전적인 연역논리의 대부분이 마련되었다. 아리스토텔레스의 논리학은 이후 스토아 학파 등에 의해 계승되었으며, 명제논리의 많은 부분이 스토아 학파 등 고대 후기의 논리학자들에 의해 발견되었다.
보에티우스 같은 철학자를 통해 이어진 논리학은 중세 유럽의 스콜라 철학에서 매우 중시되었고, 스코투스 등 유명한 스콜라 철학자 중 많은 이들은 논리학에서도 많은 업적을 남겼다. 고전적인 연역논증이 중세에 확립되었다고 볼 수 있다. "귀결(consequence)" 개념이 확립된 것이 그 대표적인 예시 중 하나이다.
르네상스 이후 아리스토텔레스주의가 지성들 사이에서 의심을 받게 됨에 되었고, 곧 아리스토텔레스의 핵심적 유산인 논리학 또한 근대에 접어들면서 어느 정도 침체에 접어들었다. 다만 유의할만한 점으로는 그 반작용으로 베이컨 등에 의한 귀납논리의 중요성이 제시된 점을 들을 수 있다. 그리고 이러한 귀납논리의 전통은 밀까지 이어진다. 예외적으로 라이프니츠는 수학에서 수 대신 대수(代數)를 사용하는 것처럼 논리학 역시 문자 대신 기호를 사용할 것을 주장하면서, 논리적 보편언어 및 논리적 연산법의 이념, 즉 기호논리학에 해당하는 발상을 구체적으로 제시했다는 점에서 특기할 만하다.
이런 침체가 극적으로 해소되기 시작한 것은 드 모르간 및 불 그리고 퍼스 등이 (기호)논리학을 본격적으로 발전시키면서부터였다. 이러한 추세는 프레게 및 페아노, 데데킨트 등이 수학을 논리학으로 환원시키고자 하는 논리주의(logicism)를 발전시키면서 더욱 가속화되었다. 특히 프레게는 술어 논리 체계를 구체적으로 고안함으로써 아리스토텔레스 이래 내려온 논리학을 근본적으로 탈바꿈해놓았다. 비록 프레게 자신이 <산술의 기초(Grundgesetze der Arithmetik)>에서 제시했던 기획은 러셀의 역설에 의해 좌초되었지만, 논리주의는 오히려 러셀과 화이트헤드에 <수학 원리(Principia Mathematica)>에 의해 계승되었다. 이에 반발한 브라우어의 직관주의, 힐베르트의 형식주의가 등장하는 등 수학 기초론 논의가 활활 타오름에 따라 논리학 또한 급격한 발전을 이루기 시작했다. 힐베르트의 23가지 문제 등은 20세기 초 논리학과 수학 기초론이 얼마나 각광받았는지 보여주는 좋은 증거다.
이런 논리학의 발전 가운데 가장 극적인 사건은 괴델이 불완전성 정리를 통해 산술 체계를 포함하는 논리체계가 무모순함과 동시에 완전할 수 없다는 것을 증명한 것이었다. 이는 논리주의와 형식주의를 끝내 좌초시켰으며, 동시에 논리학이 모형 이론, 증명 이론, 집합론 및 철학적 논리학 등 여러 하위 분야로 분화되어 현대적으로 발전하게끔 하는 계기를 제공하였다.
비형식적 오류(informal fallacy)
비형식적 오류(informal fallacy)는 논증의 내용이 오류와 관련이 있거나 인식론적, 변증법적, 또는 실용적인 이유로 잘못된 오류이다. 즉, 논증의 내용에서 빚어지는 오류를 말한다. 비형식적 오류의 특징은 명제에 대한 주장을 논리적으로 하지 않고 모호한 언어의 사용, 감정에 의존, 비약적인 판단에 따르는 오류 등이 있다. 따라서 형식적 오류는 전적으로 논리적 형식을 기반으로, 그리고 비형식적 오류는 논증의 비논리적 내용을 고려한다.
1) 주의산만 오류
∙ 거짓 딜레마: 사실 세 개가 있을 때 두 개 선택이 주어진다.
∙ 무지오류: 사실이라고 알려지지 않았기 때문에 거짓으로 가정된다.
∙ 미끄러운 비탈길: 일련의 점점 더 받아들일 수 없는 결과가 묘사된다.
∙ 복합적 질문: 두 개의 비관련 관점이 하나의 명제로 결합된다.
2) 지지 대신 동기호소
∙ 권력호소: 힘으로 동의하도록 설득하는 것이다.
∙ 연민호소: 동정으로 동의하도록 설득하는 것이다.
∙ 결과호소: 수용될 수 없는 결과를 경고한다.
∙ 편파적 언어: 가치나 도덕적 선이 논증자를 믿도록 영향을 준다.
∙ 인기호소: 널리 진실로 여기기 때문에 명제가 진실로 주장된다.
3) 주제변경
∙ 인신공격: 논증이 아니라 논증을 제시하는 사람에 대한 공격논증이다.
∙ 권위자 호소: 권위자의 말을 인용하는 오류이다.
∙ 익명 권위자 호소: 익명의 권위자에 호소하는 유형이다.
∙ 본질보다 방식: 결론이 진실이라는 가능성에 영향을 미친다.
4) 귀납오류
∙ 성급한 일반화: 표본수가 너무 작아 모집단에 대한 지지를 할 수 없다.
∙ 대표성이 없는 표본: 표본이 전체 모집단을 대표할 수 없다.
∙ 거짓유추: 비교되는 두 개의 대상이나 사건이 상당히 다르다.
∙ 나태한 귀납: 반대된 증거에도 강력한 귀납적 논증의 결론이 거부된다.
∙ 제외오류: 논증을 약화하는 중요한 증거는 고려사항으로부터 제외
5) 통계적 삼단논법 오류
∙ 사건오류: 상황이 예외가 있을 수 있을 때 일반화가 적용된다.
∙ 역사건 오류: 일반화가 적용되는 상황에 예외가 적용된다.
6) 인과오류
∙ 사후오류: 어떤 일이 다른 것을 수반하기 때문에 다른 것의 원인이 된다.
∙ 접합효과: 알려진 원인과 결과는 모두 접합 원인의 결과이다.
∙ 사소성 오류: 알려진 원인은 다른 것과 비교하여 사소한 것이다.
∙ 잘못된 방향 오류: 원인과 결과의 방향이 역이다.
∙ 복합적 원인 오류: 확인된 원인은 전체 원인의 일부일 뿐이다.
∙ 우연의 상관관계: 다른 것에 의해 원인이 될 때 오류이다.
∙ 진짜이나 비중요성 원인: 원인과 비교 시 중요하지 않다.
7) 요점상실 오류
∙ 논점절취: 결론의 진실은 논거에 의해서 가정되어 있다.
∙ 비관련 결론: 한 결론을 방어하는 논증이 대신 다른 것을 증명한다.
∙ 허수아비: 상대편의 논증의 약한 부분을 공격한다.
8) 모호성 오류
∙ 동어이의: 동일한 단어가 두 가지의 다른 의미로 사용된다.
∙ 모호한 어법: 문장의 구성이 두 다른 의미를 갖고 있을 때
∙ 강조: 단어나 구의 강조는 문장이 실제로 말하는 내용과 반대의 의미를 암시한다.
9) 범주오류
∙ 구성: 부분이 하나의 속성을 갖기 때문에 전체는 그 속성을 갖고 있다.
∙ 분리: 전체가 어떤 속성을 갖기 때문에 부분이 그 속성을 갖고 있다고 한다.
10) 불합리한 추론
∙ 후건긍정: A가 다음 B라면, B는 A이다 라는 말은 타당하지 않다.
∙ 전건부정: A가 다음 B라면, -A는 –B이다 라는 말은 타당하지 않다.
∙ 불일치 오류: 명제가 모두 진실이 아닐 때 많이 주장하나, 모순이거나 반대
11) 삼단논법 오류
∙ 4용어 오류: 삼단논법은 네 가지 용어를 갖고 있으나 모두 오류
∙ 부주연 중개념: 공통속성을 공유하기 때문에 두 분리 범주는 비교
∙ 불인정 다수오류: 논거에서 같은 용어는 해당 범주의 일부 구성원
∙ 불인정 소수오류: 논거에서 같은 용어는 해당 범주의 어떤 구성원만을 의미
∙ 배타적 논거오류: 삼단논법이 두 개의 부정적 논거를 갖는다.
∙ 부정적 논거에서 긍정적 결론도출: 결론은 긍정이지만 적어도 논거의 하나는 부정
∙ 실존오류: 어떤 개별결론은 보편적 논거에서 비롯된다.
12) 설명오류
∙ 부존재 지지: 설명된 현상은 존재하지 않는다.
∙ 비지지: 설명된 현상에 대한 증거는 편향되었다.
∙ 무검증 가능성: 설명하는 이론은 검증될 수 없다.
∙ 제한된 범위: 설명하는 이론은 단지 하나만 설명할 수 있다.
∙ 제한된 깊이: 설명하는 이론은 근본적인 원인을 불러일으키지 못한다.
13) 정의오류
∙ 과도한 광범위 오류: 정의가 포함되지 않아야 할 항목을 포함한다.
∙ 과도한 협소오류: 정의가 포함되어야 할 항목을 포함하지 않았다.
∙ 명료화 실패오류: 정의가 단어나 개념보다 이해하는데 더 어렵다.
∙ 순환정의: 정의가 정의의 부분으로써 정의된 용어를 포함한다.
∙ 모순조건: 정의가 자가 모순이다.