형식논리학(Formal logic)
논증을 구성하는 명제/진술 등의 내용에 관심을 두는 것이 아니라 그 형식에 초점을 두어 연구하는 학문. 추상적인 형식에 초점을 기울이니만큼 현대에는 당연히 수학적 기법과 기호 등을 도구로 삼아 이루어진다. 실질적으로 학계에서 "논리학"이라고 할 때에는 형식 논리학을 가리킨다고 볼 수 있다.
형식논리학에서 쓰는 논리식은 일상에서 쓰는 말을 추상화시킨 것이지만, 일상 언어 표현과 형식 논리 정식 간에는 의미상의 괴리가 있을 수 있다. 예를 들어 표준 논리의 논리식인 실질 조건문 p→q 내지는 p Ɔ q는 자칫 한국어 문장 "만약 p이면 q이다" 혹은 영어 문장 "If P, then Q"와 의미가 똑같은 것으로 오해하기 쉽지만 그 의미상 다를 수 있다.
표준 논리
Standard logic. 동일률(ϕ→ϕ), 배중률(ϕ∨¬ϕ), 무모순율(¬(ϕ∧¬ϕ)) 등을 비롯한 전통적인 논리적 법칙들 혹은 공리들을 받아 들이는, 말 그대로 표준적인 논리체계. "고전 논리(Classical Logic)"이라고도 불린다. 아리스토텔레스의 삼단논법 및 고틀로프 프레게의 수리 논리학이 모두 표준 논리에 해당한다.
철학과의 전공 과목이나 수학과의 수리논리나 기호논리학에서 명제논리와 1차 술어 논리(1st order logic)를 시작으로 기본적으로 배우게 되는 논리 체계. 이 과정에서 일상언어(혹은 수학의 언어)의 형식언어로의 번역, 형식 논리학의 추론규칙, 의미이론 등을 배우게 된다.
비표준 논리
Non-standard logic. (i) 표준 논리에 새로운 공리/추론규칙을 추가하거나 (ii) 표준 논리의 공리/추론규칙 대신 다른 공리/규칙을 채택한 언어 및 논리체계를 통틀어 이르는 말. 즉 비표준 논리에서 채택되는 형식언어들은 표준적인 형식언어들과는 다른 의미체계를 갖는다. 그중 유명한 예시들을 들자면 다음과 같다:
다치논리(many-valued logic): 명제/문장이 참(T)과 거짓(F) 말고도 다른 진리치를 가질 수 있는 논리 체계. 즉 이가원리(principle of bivalence)를 받아 들이지 않는 체계다. 대표적으로 3가지 진리치를 인정하는 3가 논리(혹은 3진 논리)가 있다.
퍼지 논리(fuzzy logic): 다치 논리의 일종. 진리치가 참과 거짓만이 아니라 연속 폐구간 [0,1] 가운데 어느 한 실수이면 되는 논리체계. 즉 참과 거짓으로 딱 나뉘어 떨어지지 않는 경우를 설명하기에 적합하다.
직관 논리(intuitionistic logic): 대략 '명제 ϕ는 참이다'를 'ϕ는 증명가능하다'로 대체하는 논리 체계. 직관주의 수학철학의 영향을 받아 이론화되었으며, 대표적인 특성으로 표준 논리의 법칙인 배중률(ϕ∨¬ϕ)을 거부하는 점이 있다. 오해하기 쉽지만, 다치 논리의 일종인 것은 아니다.
초일관 논리(paraconsistent logic): 고전 논리나 직관주의 논리 등에서는 폭발 원리(ex falso quodlibet, A∧¬A⊨B)를 받아들인다. 요컨대 모순을 받아들인다면 그 어떤 임의의 명제도 참이 된다는 것이다. 초일관주의 논리에서는 이런 폭발 원리를 거부한다. 이는 곧 참인 모순이 있다는 입장인 양진주의(dialetheism)를 옹호하는 기반이 된다.
양상논리(modal logic): "필연적이다", "가능하다" 같은 표현을 다루기 위해 표준 논리학에 양상연산자(modal operator)를 도입하여 만들어진 논리 체계. 시제를 다루기 위한 '시제 논리', 의무를 도입하기 위한 '당위 논리' 등 역시 양상 논리에 포함된다.
양자논리(quantum logic): 양자역학의 상태 공간의 대수적인 이론을 논리학적으로 해석하는 이론이다. 양자 논리는 고전 논리(불 대수)와 여러 성질들을 공유하지만, 고전 논리의 분배법칙이 양자 논리에서는 일반적으로 성립하지 않는다.
철학적 논리학(philosophical logic)이란 표준/비표준 논리를 막론하고 철학의 여러 분야에서 유용하게 쓰이는 논리 체계들 및 그에 관한 논리철학적 연구를 포괄적으로 일컫는 말이다. 예컨대 양상논리는 타 분야보다도 철학에서 특히 많은 관심을 갖는 논리체계이며, 부사구 수식이나 사건 존재론 등에서 나타나는 논리적 문제를 다루기 위해서 고안된 논리체계 또한 있다.(가령 의도를 연산자로 도입하는 체계가 있다.)