특이점(特異點, singularity, singular point)
여러 분야에서 다양한 의미로 사용한다.
한자로는 '특별히(特) 다른(異) 점(點)'으로 해석되는데, 이는 영어의 'singular point'의 역어이다. 영어의 'singular'는 '독보적인, 특이한'이라는 의미를 갖는 단어이고, 궁극적으로 라틴어의 'singularis'(위 영어 단어와 비슷한 의미가 있다)에서 온 단어이다. 영단어 single에서 파생했다기보다, 기본형 singulus에서 파생한 singularis가 통째로 영어에 들어왔다고 봄이 타당하다.
물리
특이점(特異點, singularity)은 일반적인 물리 법칙이 적용되지 않는 지점이다. 물리 현상을 수학적으로 나타냈을 때 수학의 특이점이 나타나는 곳도 마찬가지로 특이점이라고 부른다.
특이점 예시
직관적으로 이해할 수 있는 특이점의 예시로는 북극점과 남극점이 있다. 지구 표면에서의 북극점과 남극점은 일종의 특이점이 된다. 그 이유는 이 두 점을 제외한 모든 지구 표면에선 동서남북이 다 존재하는 데 반해, 북극점, 남극점에서는 모든 방향이 다 각각 남쪽, 북쪽이기 때문이다.
물리 이론에서 나타나는 특이점의 간단한 예시로는 전자가 있다. 전기장은 전하로부터의 거리의 역제곱에 비례하기 때문에 전자를 점입자로 취급한다면 전자 자신의 위치에서는 전기장이 무한대로 발산한다. 또한 전기장이 가지는 에너지는 전기장의 크기의 제곱에 비례하기 때문에, 전자가 가지는 에너지 또한 무한대로 발산한다. 현대 물리학에서는 재규격화라는 수학적 기법으로 무한대를 소거해서 문제를 해결한다. 재규격화라는 것이 최초로 소개된 시기는 대략 1948-1950년으로써, 양자전기역학을 완성하던 도중 장 분포 함수의 발산을 소거하기 위해 재규격화를 제시한 줄리언 슈윙거, 도모나가 신이치로, 리처드 파인만은 1965년 노벨 물리학상을 수상한다. 다만 재규격화는 중력에 의한 효과를 고려하지 않기 때문에 자체에너지 문제의 완전한 해결책이라 보기는 어렵다.
사실 전하는 전자나 양성자 등 근원이 있으며 이들의 부피는 0으로 근사하지만 0이 아니므로 엄밀한 의미에서 점입자라고 할 수는 없다. 아래 블랙홀의 중력 특이점도 마찬가지로 밀도가 무한대가 될 수 없다면 부피는 0이 아니므로 특이점 문제는 해결된다. 문제는, 그 부피가 얼마이고 모양은 어떤지 알 방법이 없다는 것이다.
양자론에 따라 일정 이상 범위를 좁혀나가다 보면(위치를 특정), 전자의 속도를 제한할 수 없어져 전하의 위치와 속도는 어느정도 범위 안에서 상보적으로 정의된다. 결국 점입자라는건 허상의 존재다.
중력 특이점(重力特異點, gravitational singularity)
어떠한 물질들이 극단적으로 압축되어 부피가 0이 된 천체를 의미한다. 우리가 흔히 알고 있는 블랙홀은 이 중력 특이점이 만들어내는 사건의 지평선을 의미하며 특이점이 만들어내는 중력은 사건의 지평선, 빛 구, 강착 원반이라는 독특한 블랙홀 구조
특성
이론적으로, 특이점의 부피는 0이며, 밀도는 무한대로 간주된다. 그러나 최근에는 엔트로피의 상한선이 있는 것이 아닌가 하는 관측과 함께, 특이점 밀도의 한계치에 대한 연구가 진행되고 있다. 홀로그래픽 이론에 따르면, 어떤 공간이 지닐 수 있는 엔트로피의 상한치는 그 공간 전체를 둘러싸는 블랙홀의 엔트로피와 동일하다고 추정된다. 블랙홀의 엔트로피는 사건의 지평선의 넓이와 같다는 게 증명되어 있으므로(비례계수는 1제곱 플랑크 길이. 즉 플랑크 넓이에 대하여 약 4bit 전후), 상한도 추정이 가능하다.
중력 특이점(gravitational singularity), 시공간 특이점 또는 간단하게 특이점은 천체의 구성물질이 극단적으로 압축되어 0이 된 상태 또는 중력이 아주 강해서 시공간 자체가 파국적으로 붕괴될 것으로 예측되는 어떤 상태를 말한다. 따라서 그러한 한 특이점은 정의상 더 이상 일반적 시공간에 속하지 않으며 또한 "어디"나 "언제"로 결정할 수 없다. 중력 특이점은 일반 상대성이론과 양자역학의 교차점에 존재하므로, 양자 중력 이론이 확립되지 않으면 특이점의 특성이 설명될 수 없다. 현재 최고의 중력 이론인 일반 상대성이론에서 특이점에 대한 완전하고 정확한 정의를 찾는 것은 한 어려운 문제로 남아 있다. 일반 상대성이론에서 한 특이점은 스칼라 불변량(scalar invariant) 곡률이 무한대가 되거나, 더 좋게는, 한 측지선이 불완전한 것으로 정의될 수 있다.
중력 특이점들은 주로 일반 상대성이론의 맥락에서 고려되는데, 여기서 양자역학으로부터의 보정 없이는 어떤 블랙홀 중심에서, 그리고 천체물리학 및 우주론 내에서 대폭발(빅뱅) 당시 [[w:Initial singulari우주의 최초 상태{Initial singularity}]]에서 밀도는 무한대가 될 것이다. 물리학자들은 특이점들의 예측이 특이점이 실제로 존재한다는 의미인지(또는 대폭발이 시작될 때 존재했다는 것인지), 또는 현재의 지식이 그러한 극한 밀도들에서 일어나는 것을 설명하기에 불충분하다는 의미인지 결정하지 못한다.
일반 상대성이론은 특정 지점(별들의 경우는 이것은 슈바르츠실트 반지름이 될 것이다)을 넘어 붕괴하는 모든 물체는 블랙홀을 형성하고, 그 내부에 한 특이점(어떤 사건 지평선으로 덮인)이 형성될 것이라고 예측한다. 펜로즈-호킹 특이점 정리는 한 특이점을 한 매끄러운 방식으로 확장할 수 없는 측지선을 갖는 것으로 정의한다. 이러한 측지선의 종점이 특이점으로 간주된다.
현대 이론은, 대폭발이 시작될 때, 우주의 최초 상태가 한 특이점이라고 주장한다. 이 경우 우주는 블랙홀로 붕괴되지 않았는데, 이는 현재 알려진 중력 붕괴에 대한 계산과 밀도 한계가 일반적으로 별들과 같이 상대적으로 일정한 크기의 물체를 기반으로 하며, 또한 대폭발과 같이 급격하게 팽창하는 공간에는 반드시 같은 방식으로 적용되지 않기 때문이다. 일반 상대성이론이나 양자역학 모두 현재 대폭발(빅뱅)의 최초 순간들을 설명할 수 없지만, 일반적으로는, 양자역학은 입자들이 그 파장들 보다 한 작은 공간에 서식하는 것을 허용하지 않는다.
해석
물리학의 많은 이론들에는 어떤 종류의 수학적 특이점들이 있다. 이러한 물리 이론들의 방정식들은 어떤 양의 질량의 공이 무한대가 되거나 또는 무한대로 증가한다고 예측한다. 이것은 일반적으로 라모 공식에 의해 예측되는 어떤 수소 원자의 자외선 파탄, 재규격화 및 불안정성에서와 같이 그 이론에서 한 누락된 부분이 있다는 신호이다.
일반 상대성이론이 아닌 특수 상대성이론을 포함하는 고전장 이론에서는, 시공간에서 특정 물리적 특성이 정의되지 않는 특정 지점에서 한 해가 한 특이점을 가지며, 시공간은 그 특이점을 위치시키기 위한 배경 장 역할을 한다고 말할 수 있다. 반면에 일반 상대성이론에서 한 특이점은 시공간 자체가 잘못 정의되고, 특이점이 더 이상 일반적 시공간 다양체의 일부가 아니기 때문에 더욱 복잡하다. 일반 상대성이론에서, 한 특이점은 "어디서" 또는 "언제"로 정의될 수 없다.
루프 양자중력 이론과 같은 일부 이론들은 특이점이 존재하지 않을 수 있다고 제안한다. 이것은 아인슈타인-맥스웰-디랙 방정식과 같은 고전적인 통일장 이론에서도 마찬가지이다. 그 아이디어는 양자 중력 효과로 인해 질량들 사이의 거리가 짧아짐에 따라 중력이 더 이상 계속 증가하지 않는 최소 거리가 존재한다거나, 또는 대안적으로 서로 관통하는 입자 파동들이 먼 거리에서 느낄 수 있는 중력 효과들을 가린다는 형식으로 언급될 수 있다.
이러한 루프 양자중력의 철학에서 영감을 받아 최근에는 이러한 개념이 기하학의 첫 번째 공리, 즉, 한 점을 나타내거나 증명하는 작은 점의 연장을 설명하는, 산술과 기하학의 융합이라고 부르는 한 프로그램적 호출에 기반한 클라인의 처방을 고려함으로써, 점의 개념을 정교화한 몇 가지 기본 구성을 통해서 실현될 수 있음이 밝혀졌다. 보른에 따르면, 클라인의 프로그램은 실제로 '실수'들을 사용하여 '한 물리적 상황'을 설명하면서 '모든 관측의 자연적 불확실성'을 고려하는 한 수학적 경로였다.[16]
유형
원뿔형과 곡선형 등 특이점이 처음 등장한 이론들과 관련된 특성들을 가진 물리적 특징이 각각 다른 한 가지 유형의 특이점만이 존재한다. 또한 사건 지평선들 없이 발생한다는 가설도 있는데, 사건 지평선 너머에는 사건들이 영향을 미칠 수 없는 한 시공간 구간을 다른 시공간 구간과 구분하는 구조이다; 이것들은 벌거숭이라고 불린다.
원뿔형
한 원뿔형 특이점은 일부 미분동형사상 공변(diffeomorphism covariance)량의 한계가 존재하지 않거나 무한한 지점이 있을 때 발생하며, 이 경우 한계점 자체에서 시공간이 매끄럽지 않다. 따라서, 시공간은 이 지점을 중심으로 원뿔처럼 보이며, 그 특이점은 원뿔의 끝에 위치한다. 좌표계가 사용되는 모든 곳에서 그 계량은 유한할 수 있다.
이러한 원뿔형 특이점의 한 예는 우주 끈 그리고 슈바르츠실트 블랙홀이다.
곡률
일반 상대성이론이나 다른 중력 이론(초중력와 같은)의 방정식들을 풀다 보면 계량(metric)이 무한대로 불어나는 지점을 만나게 되는 경우가 종종 있다. 그렇지만, 이러한 점들 대부분은 완전히 정칙적이고 또한 무한대들은 이 점에서 부적절한 좌표계를 사용한 어떤 결과(using an inappropriate coordinate system at this point}일 뿐이다. 한 특정 지점에 한 특이점이 있는지 테스트하려면 이 지점에서 미분동형사상 불변(diffeomorphism invariant)량들(즉, 스칼라들)이 무한대가 되는지 확인해야만 한다. 이러한 양들은 모든 좌표계에서 동일하므로 한 좌표들의 변화에 의해서 무한대가 "사라지지" 않는다.
어떤 회전하지 않고 대전되지 않은 블랙홀을 설명하는 슈바르츠실트 해가 한 예이다. 블랙홀로부터 멀리 떨어진 영역들에서 작업하기에 편리한 좌표계들에서는 사건의 지평선에서 계량의 일부가 무한대가 된다. 그렇지만, 사건의 지평선에서의 시공간은 정칭적이다. 그 계량이 완벽하게 매끄러운 다른 좌표계(예: 크루스칼 좌표(Kruskal coordinates))로 변경할 때, 그 정칙성은 분명해진다. 다른 한편으로는, 블랙홀의 중심에서 계량이 무한대가 되는 경우, 해법들은 한 특이점이 존재함을 시사한다. 특이점의 존재는 크레취만 스칼라(Kretschmann scalar)를 통해 확인할 수 있는데, 이것은 리만 텐서의 제곱 즉
이며,
이것은 미분동형사상 불변이고, 무한대이다.
어떤 회전하지 않는 블랙홀에서는 그 특이점이 모형 좌표들의 한 점에서 발생하는데, 이를 "점 특이점"이라고 불리며, 한편 커 블랙홀이라고도 하는 회전하는 블랙홀에서는 그 특이점이 "고리 특이점(ring singularity)"이라고도 알려진 한 고리(원형 선)에서 발생한다. 이러한 특이점은 이론적으로 한 웜홀이 될 수도 있다.
보다 일반적으로는, 만일 한 시공간이 측지적으로 불완전한(geodesically incomplete) 경우, 즉 그 특이점에 도달하는 시점 이후, 즉 유한한 시간을 넘어서는 운동을 결정할 수 없는 자유 낙하 입자들가 있음을 의미하며, 그것은 특이점으로 간주된다. 예를 들어, 회전하지 않는 블랙홀의 사건 지평선 안에 있는 모든 관측자는 유한한 시간 내에 그 중심에 떨어지게 된다. 고전적인 버전의 우주의 대폭발(빅뱅) 우주론적 모형은 시간의 시작 (t=0)에 한 인과적 특이점을 포함하며, 여기서 모든 시간꼴 측지선은 과거로 확장하지 않는다. 이 가상의 시간 0으로 뒤돌아 외삽하면 크기가 영인 모든 공간 차원들, 무한 밀도, 무한 온도 및 무한 시공간 곡률을 가진 우주가 된다.
벌거숭이 특이점
1990년대 초까지만 해도, 일반 상대성이론은 모든 특이점을 어떤 사건의 지평선 뒤에 숨겨서 벌거숭이 특이점들은 불가능하다고 널리 믿었다. 이를 우주 검열 가설이라고 한다. 그렇지만, 1991년 물리학자 스튜어트 샤피로Stuart Shapiro와 사울 테우콜스키(Saul Teukolsky)Saul Teukolsky는 먼지의 회전하는 평면에 대한 컴퓨터 시뮬레이션을 수행하여 일반 상대성이론이 "벌거숭이" 특이점들을 허용할 수 있음을 보여주었다. 이러한 모형에서 이러한 천체들이 실제로 어떻게 보일지는 알려지지 않았다. 또한 시뮬레이션에 사용된 단순화 가정을 제거해도 특이점들이 여전히 발생할지 여부도 알 수 없다. 그렇지만, 한 특이점에 들어오는 빛도 유사하게 그 측지선이 종료되고, 따라서 그 벌거숭이 특이점이 한 블랙홀처럼 보일 것이라는 가설이 있다.[