| 피타고라스가 직각삼각형 등에 대한 특별한 정리(定理, theorem)를 발견했다면, 유클리드는 수학하는 방법을 창조했다. 그는 점, 선, 면, 원, 각, 삼각형, 평행선 등 기하학에 필요한 기본 소재들의 개념을 정의(定義, definition)한 후 증명이 필요없는 공리(公理, axiom) 및 공준(公準, postulate)을 세웠다. 공리란 많은 사람(公, public)이 인정하는 기본 이치이며, 공준도 많은 사람이 승인하는(準) 기본 가정이다. 몇몇 뻔하며 당연한 정의들과 공리들로부터 출발해 유클리드는 다양한 명제를 연역적으로 증명하며 정리를 유도했다. 이는 수학이라는 학문의 일반적 체계화를 이룩한 대업이었다. |
유클리드 기하학(-幾何學, Euclidean geometry)은 고대 그리스의 수학자 에우클레이데스(유클리드)가 구축한 수학 체계로 《원론》은 기하학에 관한 최초의 체계적인 논의로 알려져 있다. 유클리드의 방법은 직관적으로 받아들일 수 있는 공리를 참으로 간주한다. 이로부터 연역적으로 명제 (정리)를 이끌어낸다. 유클리드가 이끌어낸 많은 성과는 일찍이 오래전의 수학자들에게 알려져 있었던 것이나, 유클리드는 포괄적인 추론과 논리를 통해 그 명제들이 왜 성립할 수 있는가를 보인 최초의 인물이다. 그의 《원론》은 평면 기하학과 함께 시작되며, 아직도 중등 수학교육에서는 최초의 공리계이자 최초의 정형화된 증명의 예로 가르치고 있다. 이는 3차원에서의 공간 기하학으로 계속해서 이어진다. 현재 대수학과 정수론으로 불리는 《원론》의 많은 결론들은 기하학적 언어로 표현되어 있다.
유클리드 기하학이 아닌 다른 종류의 기하학은 한 번도 생각된 적이 없었기 때문에 2천년 동안 "유클리드"라는 수식어는 필요하지 않았다. 유클리드의 공리는 어떤 정리도 유도해 낼 수 있을 만큼 직관적으로 매우 명백한 것으로 보였고, 절대적인 의미에서 참으로 간주되었다. 그러나 오늘날에는 자기 모순이 없는 많은 다른 비유클리드 기하학이 알려져 있고, 19세기 초에 그 중 최초가 개발되었다. 유클리드 공간은 중력장이 거의 작용하지 않는 공간에서만 실제 세계와 잘 들어맞는 근사적인 이론이라는 것이 아인슈타인의 일반 상대성이론에 함축되어 있다.
유클리드 기하학의 공준
어떤 한 점에서 어떤 다른 한 점으로 선분을 그릴 수 있다.
임의의 선분을 선을 따라 다른 선분으로 연장할 수 있다.
어떤 한 점을 중심으로 하고 이에 대한 거리(반지름)로 하나의 원을 그릴 수 있다.
모든 직각은 서로 같다.
평행선 공준: 두 직선이 한 직선과 만날 때, 같은 쪽에 있는 내각의 합이 2직각(180˚)보다 작으면 이 두 직선을 연장할 때 2직각보다 작은 내각을 이루는 쪽에서 반드시 만난다.
에우클레이데스(고대 그리스어: Εὐκλείδης, 기원전 300년경) 또는 영어식 이름으로 유클리드(영어: Euclid, IPA: [ˈjuːklɪd] 또는 Euclid of Alexandria)는 고대 그리스의 수학자이자 소설가이다. (고대 이집트의 수학자였을 가능성도 있다. 에우클레이데스가 어느 나라 수학자인지 확실하게 밝혀진 사실은 없다.) 프톨레마이오스 1세 소테르의 재위 기간(기원전 323년~기원전 283년)동안 프톨레마이오스 1세 소테르의 부탁으로 최초의 대학이자 도서관, 박물관이라고 불리는 알렉산드리아 대학에서 활동하였고(하지만 이 대학은 현재 흔적도 없이 사라졌으며, 정확한 위치도 추측만 하고 있을 뿐이다.), 당시 알려진 정수론 및 기하학을 체계적으로 정리한 《에우클레이데스의 원론》을 집대한 업적을 가장 높게 평가받고 있다.
생애
에우클레이데스, 1703년.
에우클레이데스(유클리드)의 가장 유명한 저서는 총 13권으로 구성되어 있는《에우클레이데스의 원론》(고대 그리스어: Στοιχεῖα 스토이케이아)이다. 기하학 원본이라고도 불린다.(원본은 그리스어로 문자라는 뜻이다.) 에우클레이데스 자신의 독창적인 내용들은 별로 없지만, 그 형태가 단순하고 논리적으로 연결되어 있다는 점이 가장 큰 특징이라고 할 수 있다. 그때 당시까지 밝혀진 기하학과 정수론의 내용들을 다뤘는데, 10개밖에는 되지 않는 공리들에서 465개나 되는 명제들을 유도해냈다. 내용들 중 많은 부분들이 그 이전의 수학자들에게도 이미 널리 알려졌던 것이었다. 하지만 《에우클레이데스의 원론》이 수학사의 고전이 된 이유는 일정한 공리에서부터 결과를 이끌어내는 논리적인 전개였다. 공리 체계에 바탕을 둔 근대 수학은 《에우클레이데스의 원론》에 근원을 둔다고 해도 과언이 아니다. 《에우클레이데스의 원론》은 수학사에서 가장 영향력 있는 저술의 하나로, 출판된 뒤부터 19세기 말 또는 20세기 초까지 수학, 특히 기하학을 가르치는데 중요한 교과서로 쓰였다. :50–62:100–119:12 유클리드 기하학이라고 불리는 기하학의 정리들이 작은 공리로부터 출발해서 연역된다. 에우클레이데스의 기하학은 수백 년동안 순수한 기하학 그 자체로 여겨졌으나, 비유클리드 기하학의 존재가 밝혀지면서 지금은 유클리드 기하학이라고 불린다.
《에우클레이데스의 원론》에 나오는 2개의 정수의 최대공약수를 구하는 알고리즘은 지금도 유클리드 호제법이라고 불리며, 소수의 무한성에 대한 정리 역시 오늘날에도 유클리드의 정리로 불린다. 또한, 《에우클레이데스의 원론》에는 피타고라스의 정리의 독창적 증명이 수록되어 있기도 하다.
현존하는 기타 저서
《원론》 말고도 현존하는 에우클레이데스의 저서는 다음과 같다.
《주어진 값》(고대 그리스어: Δεδομένα 데도메나)은 기하학에 대한 책이다.
《현상》(고대 그리스어: Φαινόμενα 파이노메나)은 구면 기하학을 다룬다.
《광학》(고대 그리스어: Ὀπτικά 옵티카)은 광학을 다루는 그리스 최고(最古)의 문헌이다.
《도형의 분할에 대하여》(고대 그리스어: Περί διαιρέσεων βιβλίον 페리 다이이레세온 비블리온)는 주어진 도형을 주어진 비로 분할하는 문제를 다룬다. 아랍어 번역으로 부분만이 현존한다.
《거울 광학》(고대 그리스어: Κατοπτρικά 카톱트리카은 거울을 사용한 기하학 문제를 다루며, 아마 후대의 작품으로 추측된다.
손실된 저서
이 밖에도, 문헌에는 에우클레이데스가 집필했다고 수록되어 있는 여러 책들이 전해 오지만, 이들은 짧은 인용을 제외하고는 현존하지 않는다.
《원뿔 곡선》(고대 그리스어: Κωνικά 코니카)은 원뿔 곡선을 다룬다. 후에 페르게의 아폴로니오스가 이 내용을 확장하였다.
《포리스마》(고대 그리스어: Πορίσματα 포리스마타). ‘포리스마’(고대 그리스어: πόρισμα)는 어떤 기하학적 작도가 가능할 조건을 제시하는 수학적 정리이다.
《착오의 서(書)》(고대 그리스어: Ψευδάρια 프세우다리아). 논리적 오류를 다룬다.
《곡면 궤적》(고대 그리스어: Τόπων τῶν πρὸς ἐπιφανείᾳ 토폰 톤 프로스 에피파네이아). 이차 곡면에 대한 것으로 추측된다.
아랍 문헌에서는 에우클레이데스가 집필했다고 하는 여러 역학에 대한 책들이 등장한다.
일화
위의 프톨레마이오스 1세 소테르와의 대화뿐만 아니라, 다른 유명한 일화도 전해지고 있다. 어느 날, 에우클레이데스의 강연 도중에 한 제자가 "교수님, 수학은 너무 지루합니다. 도대체 그걸 배워서 어디다가 써먹을 수 있죠?"라고 묻자, 에우클레이데스는 하인을 불러서 "여봐라, 배운 것으로 반드시 이득을 얻으려고만 하는 저 친구에게는 동전 세 닢만 주고 강의실 밖으로 쫓아내라."라고 말했다는 유명한 일화가 있다. 이 일화를 볼 때, 에우클레이데스는 배우는 그 자체를 의미있다고 생각하는 성격이었다는 것을 짐작할 수 있다.