유체역학
Fluid Mechanics
유체. 즉, 전단응력을 받을 때 저항하지 못하고 연속적으로 변형하는 물질의 역학적 상태를 설명하는 학문
역사적으로 유체역학의 시초는 뉴턴으로 본다. 물론 아르키메데스의 부력의 원리도 유체역학에 기여하였지만, 체계적인 학문으로 발전시킨 것은 뉴턴의 연구가 처음이라고 할 수 있겠다. 이후로 다니엘 베르누이, 오일러 등의 학자들이 유체역학을 발전시켜 왔으며, 유체역학 관련 학회에서 새로운 논문이 수천수만 편이 쏟아져 나오고 있는 현재에도 새롭게 발전하고 있는 학문 분야이다.
오일러 관점
유체역학에서는 관찰할 지점은 고정해놓고, 그곳을 지나는 유체에 대해 질량, 운동량, 에너지 보존을 해석하는 오일러 관점을 이용한다. 또한, 오일러 관점을 이용하여 기존의 보존 법칙들을 다시 전개하게 된다. 에너지 보존법칙들은 연속방정식, 구성방정식, 나비에-스토크스 방정식, 열역학 제1법칙 등으로 구체화되어서 나타나게 된다. 나비에-스토크스 방정식은 운동량 보존의 법칙을 오일러 관점으로 유체에 적용한 것.
위에서 라그랑지언 관점과 차이가 있다고 기술했는데, 이는 라그랑지언 관점은 관찰하는 시간에 따른 위치를 기술하기 때문이다. 예를 들어 라그랑지언 관점을 통해 중학교에서부터 배우는 기초적인 동역학에서 '평균 속력'을 기술하기 위해서는 물체 운동의 시작 시간과 종료 시간, 그리고 '그 두 시간의 물체의 위치'가 필요하다. 우리가 일반적으로 동역학이라고 부르는 바로 그것.
반면 오일러리안 관점은 동역학이지만 정역학과 유사하다. 정상상태에 있는 유체의 흐름을 추적하기 때문. 만약 정상상태가 아니라고 가정하면 매우 어려워진다. 일반적으로 기초적인 수준에서는 공간에 따른 변화는 있어도 시간에 따른 변화는 없는 것으로 가정하며 그 이상은 수치해석을 이용한다.
난이도
다른 역학들에 비해서 유체역학은 미친 듯이 어렵다고 이야기한다. 일반적인 역학(라그랑지언 관점)과 다른 관점(오일러 관점)을 사용하기 때문이다. 유체역학의 끝은 나비에-스토크스 방정식인데, 이 방정식의 일반해를 구할 수 있는가 없는가는 밀레니엄 문제로 아직까지도 증명되지 않고 있다.
유체역학에는 텐서가 유용하게 사용되는데, 처음 접할 때의 생소함이 상당하다. 또한 유체역학에서 여러 복잡한 문제가 생기는 이유로는 비선형 편미분방정식에 0이 아닌 수가 많이 끼어 들어가는 것이 있다. 다만 학부 과정에서는 텐서를 집중적으로 다루지는 않고, 나비에-스토크스 방정식도 유도 과정을 잘 파악하는 수준(이것도 쉽지는 않지만)만 되면 되니까 위에서 언급한 극악한 난이도를 직접 맛볼 일은 생각보단 많지 않다. 대학원 이론과정으로 들어가면 인덱스 표기법을 사용해 텐서를 표기하며, 3, 4차 텐서나 5, 7, 9승 하모닉스까지 올라가면 문제 풀다가 손가락이 부러질 것 같은 기분을 느낄 수 있다. 방정식 하나가 적어도 10줄을 넘어간다. 그게 끝이 아니라 힘이나 토크를 구하려면 그 거대한 놈을 표면 위에서 적분해야 한다.
본래 물리학의 한 분야이며 초유동체의 현상을 기술할 때라든지, 태양풍이나 플라즈마 등의 각종 유체를 연구할 때 쓰인다. 이런 복잡한 현상은 양자역학, 전자기학 등 각종 물리학 분야들을 짬뽕해서 설명한다. 하지만 현재는 물리학과의 공통 교육과정에서는 벗어나 있다. 물리학과에서 가르치는 학교가 손에 꼽을 정도다. 현대물리학은 미시 세계, 우주론에 더 집중하는 경향이 있다 보니 유체역학을 연구하는 연구실은 거의 없다. 왜냐하면 순수 물리학 관점에선 고전 유체역학은 결국 고전역학의 운동 법칙과 연속방정식 등 이론적으로 기술(記述)이 끝나 있으며, 여러 상황에 대한 응용은 이미 기계공학으로 넘어가 있기 때문이다. 예외적으로 물리학과의 분과 중 플라즈마 물리학에서는 유체역학이 여전히 요긴하게 쓰이지만, 플라즈마 물리가 세부 전공으로 설치되어 있는 물리학과는 그리 많지 않은 편이다. 그 악명 높은 나비에-스토크스 방정식도 식이 괴악해서 풀기 힘들 뿐이지 이론적으로 뜯어놓고 보면 연속방정식, 베르누이 원리, 뉴턴역학 등 고전 이론으로 환원된다. 이 방정식 자체에 대한 연구는 물리학이 아니라 오히려 이론 수학 중 동역학계 (Dynamical System) 분야에서 활발히 진행되고 있다.
하지만 공학도들에게 있어서는 양자역학과 더불어 넘어야 할 양대 산맥 중 하나로 중요성이 매우 높다. 전자공학, 재료공학 등에서 사용되는 양자역학처럼, 유체역학은 기계공학, 항공우주공학, 화학공학, 토목공학 등 메이저 공대 학과에서는 대부분 배워야 하는 매우 중요한 학문이다. 중요한 학문이지만 가르치는 교수도 자기 전공이 아닌 분야의 대학원 수준은 이해하기 어렵다.
같은 유체역학을 다룬다고 하더라도 기계공학, 화학공학, 항공우주공학, 토목공학, 물리학과, 원자력공학 등은 서로 주로 다루는 분야가 약간씩 다르다. 그래서 중간에 전과하거나 학부통합과정이어서 각 학과의 수업을 각각 따로 들어보면 분명 제목은 똑같은 유체역학인데도 서로 전혀 다른 이야기를 하는 경우가 종종 있다.
자기유체역학(MHD: Magnetohydrodynamics)
보통의 유체는 전기적으로 중성이지만, 이 유체를 이루는 입자들이 전하를 가진다거나 하는 특수한 환경에서 자기유체역학을 적용한다. 유체역학의 나비에-스톡스 방정식과 전자기학의 맥스웰 방정식을 섞기 때문에 매우 어렵다. 하지만 대부분의 공과대학에서는 잘 안 쓰고, 더더욱 학부 때는 볼 일이 없다.
철강 업계에서도 자기유체역학을 사용한다. 고로에서 막 빠져나온 선철(pig iron)에는 불순물이 많은데, 이를 떠오르게 하기 위해 강한 자기장을 걸어 대류를 촉진시킨다. 이 경우에는 나비에-스톡스 방정식으로 풀어도 잘 맞는다.
핵융합 및 플라즈마 물리 연구에서도 많이 사용된다. 플라즈마의 움직임을 연구할 때(핵융합 플라즈마나 태양풍 등 연구 시) 이 현상을 고려해야 하는데, 실제로는 플라즈마의 경우 매우 밀도가 낮으므로, 연속체로 가정하는 나비에-스토크스 방정식을 그대로 적용하면 잘 맞지 않는다(이때는 압축성 식을 써야 하는데 압축성은 비선형 항이 두 개나 되는 게 함정(...)) 그 기준점을 제시하는 무차원수 Knudsen 수가 존재한다. 이런 플라즈마나 인공위성의 저항 계산과 같이 밀도가 매우 희박한 공기역학 문제의 경우 DSMC 기법을 사용한다. DSMC는 볼츠만 방정식을 통계적으로 해석하기 위한 것이다.
또한 핵융합로 토카막의 내부에서 강자기장을 받는 냉각수 Pb17Li의 전자기력으로 인한 압력강하를 줄이려 할 때 쓰인다. 이러한 관내 MHD유동은 Side Layer의 형성으로 인하여 학부과정에서 흔히보는 U-shaped velocity profile과는 다른 M-shaped velocity profile이 형성되는 흥미로운 현상을 보인다. 여기서 대표적인 무차원수는 전자기력과 점성력의 비율인 Hartmann Number. 그리고 보통 MHD 유동이 로렌츠힘으로 인해 고출력의 펌프가 필요한데, 그런 펌프를 설계하는 게 사실상 불가능하다. 최근엔 울며 겨자먹기 식으로 유체 내부의 전류를 차단하는 FCI(Flow Channel Insert)를 설치하여 줄이고 있지만 한계가 크다.
공기역학(Aerodynamics)
유체의 흐름 속에서 물체가 받는 힘(특히 양력)을 주로 다루는 유체역학이다. 여기에서는 소용돌이나 와류에 대한 이야기를 많이 들어 볼 수 있다. 양력을 받는 날개는 왜 와류를 만드는가, 날개 끝에 수직으로 세운 윙 팁은 왜 있는가, 델타 윙은 어떨 때 유리한가 등. 또한, 기체를 다루는 만큼 유체가 압축하고 팽창하는 것도 고려해야 한다. 이 특성이 중요한 이유는 유체의 압축 및 팽창으로 인해 벽면과의 마찰과 무관하게(즉 점성이 없는 유체이더라도) 충격파가 생기는 것만으로도 저항이 발생하기 때문이다. 제일 간단하게 입사각을 가진 평판 또는 다이아몬드형 에어 포일의 해를 풀어보면, 비점성-비회전 유동인 경우에도 압축성 유체를 푸는 경우 저항이 발생한다는 해를 얻을 수 있다. 음속을 돌파할 즈음에는 저항이 아음속의 수배 정도로 늘어나고, 점성에 의한 저항은 미미해진다. 따라서 초음속인 경우에는 비점성으로 풀더라도 실험과 잘 맞는 경우도 많다. 이미 1950-60년대에 Panel법 등으로 항공기 설계를 해오면서 보정을 하는 식으로(보통 Empirical method라고 부른다) 상당히 오랜 기간 노하우가 누적된 코드가 Boeing, McDonnel Douglas, Lockheed 등에 의해 개발 및 사용되어 그 정확성을 입증한 바 있다. 대체 얼마나 많은 공돌이가 갈려들어갔을지 알 만하다. 한편 항공우주공학 쪽은 공기역학을 배워도 주로 외부 유동에 대해 배우며, 일반적으로 이쪽에서 쓰는 교과서는 난류에 대해서는 초반에 잠깐 언급하고서는 초음속 같은 압축성 유체역학 이야기만 내내 하다가 교과서 말미에 점성과 난류가 나오는 경우가 많다. 실제로 난류나 점성이 문제시 되는 것은 주로 특수한 상황 - 실속이나 유선형이 아닌 복잡한 형상의 유동의 경우이기 때문. 근데 현업에선 그 특수한 상황을 정확히 풀어야만 성능을 만족하거나 안전한 설계를 할 수 있다는 것이 함정 기체뿐만 아니라 스포츠카, 하이퍼카도 더 빠른 속도를 내기 위해 공기역학이 사용되며 모터스포츠에서는 매우 중요한 변수중 하나로 이 공기역학을 잘 이해하고 차량을 제작하는 팀이 우승을 매년 차지할만큼 중요한 전략중 하나이다. 모든 팀이 이 공기역학에 큰 돈을 쏟아부으며, 경쟁도 치열한데 그 예로 포뮬러 1에서 최근 압도적인 성적을 내고 있는 오라클 레드불 레이싱이 사고로 인해 플로어가 드러나면 차량들의 비밀을 드디어 보았다며 타팀들이 좋아할 정도로 이 공기역학에 대한 경쟁이 치열하다.
음향학(Acoustics)
고체 혹은 유체에서의 파동의 전달에 다루는 분야. 엄밀하게 말하면 완전한 유체역학은 아니지만(유체역학+고체역학+진동학 정도?), 음파가 전달되는 주된 매질 중 하나가 공기나 물 등의 유체이므로 음향학에서도 유체역학을 상당히 신경써야 한다. 음향학에서 가장 기본이 되는 Acoustic Wave Equation을 유도하기 위해서는 매질에 대한 세 가지 보존 법칙(질량, 운동량, 에너지)과 매질에서의 Constitutive Law(보통 밀도와 압력 사이의 관계)가 필요한데, 매질이 유체일 경우 위의 세 가지 보존 법칙 중 앞의 둘이 유체역학의 연속방정식, 나비에-스토크스 방정식이 된다. 이 외에도 음속에 대한 고려나 음파의 흡수나 감쇠를 고려할 때에 유체역학이 필요하며, 이 경우에는 파동 에너지를 분자 레벨에서 흡수하는 것까지 고려되어 기체 분자 운동론까지 동원되는 경우가 생긴다.
게다가 보통 선형으로 근사하여 사용하는 Wave Equation의 비선형 항을 고려하기 시작하면 유체역학의 중요도는 더 높아진다. 비선형 음향학에서는 음파의 속도가 매질의 음속만이 아닌 주어진 Input의 진동 속도에도 영향을 받으며, 음파가 진행됨에 따라 음파의 Waveform이 찌그러지고 이 찌그러짐에 의해 음파가 일정 거리 이상 진행하면 (유체의 압축을 고려하지 않아도) 위의 공기역학과 비스무리한 충격파가 생기는 것(Shock Formation)을 확인할 수 있다. 이러한 비선형적인 고려를 하기 위해서는 Wave Equation의 유도 과정으로 다시 돌아가 이론을 전개하여 비선형항을 고려한 Wave Equation을 만들어야 하며(Westvalt Equation, Bugers Equation, KZK Equation), 이 외도 위에 언급한 여러 비선형적 현상들을 고려하기 위해서는 유체역학이 필수적이다. 물론 여기까지 오면 대부분의 문제를 컴퓨터 코드로 풀게 되며, 대표적으로 텍사스 대학에서 만든 KZK Equation 관련 코드가 있다.
양자유체역학(Quantum Fluids, Quantum Hydrodynamics)
양자역학+유체역학. 인페르노 두 과목을 합쳐놓은 끝판왕. 이 분야를 많이 다루는 전공은 엔지니어링이 아닌 물리학, 천문학 계열. 액체 헬륨의 거동이나 중성자별 내부 구조를 연구하는 데 쓰인다.
상대론적 유체역학(Relativistic Hydrodynamics)
상대성이론+유체역학. 이것도 끝판왕급의 난이도를 자랑한다. 이런 내용은 대체 어디에다 써먹느냐 싶겠지만 이것의 적용 범위는 다름 아닌 우주 전체라고 할 수 있겠다. 은하같은 크고 아름다운 스케일의 대상은 유체의 성격을 띠고 있으면서도 아주 빠른 속도나 중력(= 휘어진 시공간)의 영향을 받기 때문에 상대론적 효과를 고려하지 않을 수가 없다.
핵물리학에서 초상대론적 중이온 충돌 직후 생기는 쿼크과 글루온들로 이루어진 쿼크 글루온 플라즈마의 움직임을 서술할 때 상대론적 유체역학을 이용한다. 에너지 운동량 텐서를 이용하여 4차원적 연속방정식과 나비에-스토크스 방정식을 풀어야 한다. 거기에 점성 텐서를 넣어서 문제를 더 복잡하게 만들어서 아름답게 풀어내려고 노력한다. 미국의 오하이오 주립대학교, 듀크대학교, 캐나다의 맥길대학교 등등 핵물리학 분야에서 알아주는 대학들에서 다양한 상대론적 유체역학을 풀어내는 시뮬레이션 코드들을 개발하고 있다.
전산유체역학(CFD; Computational Fluid Dynamics)
전산 유체 역학은 유체 현상을 기술한 비선형계 편미분방정식인 나비에-스토크스 방정식을 유한차분법 (Finite Difference Method), 유한요소법 (Finite Element Method), 유한체적법(Finite Volume Method) 등의 방법들을 사용하여 이산화하여 대수 방정식으로 변환하고, 이를 수치 기법(numerical methods)의 알고리즘을 사용하여 유체 유동 문제를 풀고 해석하는 것이다.
컴퓨터를 사용하여 공학 문제에서 유체와 기체의 상호작용을 시뮬레이션한다. 그러나, 식을 여러 가정을 통해 간단히 하거나 슈퍼컴퓨터를 사용한다 하더라도, 대부분 근사해만을 얻을 수 있다. 적용 모델이 실제에 더욱 가까울수록 아음속이나 난류 문제와 같은 복잡한 현상의 시뮬레이션이 보다 정교해진다. 코드의 검증은 실험을 수행하여 얻은 정량적 정성적 데이터와 그 오차를 비교하여 이루어진다. 전산 유체 역학은 단상 및 다상 유동(single- and multi-phase flow), 연소(combustion) 및 화학 반응(chemical reaction) 등 다양한 문제들을 해석할 수 있도록 개발되고 있다.
혈류역학 (Blood Flow Dynamics; Hemodynamics)
혈류역학은 사람의 몸 속에 있는 피가 흐르는 역학에 대해서 탐구하는 분야이다. 피는 보통 물보다 점성이 높으며, 일반적인 뉴턴 유체의 가정이 통하지 않고, 비뉴턴 유체의 특성을 고려해야 한다. 그러나 많은 경우 혈류역학 역시 뉴턴유체를 가정한 나비에-스토크스 방정식을 적용하여 해석하는 것이 일반적이다. 혈류역학을 잘 이해하기 위해서는 반드시 유체역학 뿐만이 아니라 혈관 벽의 동적 특성을 함께 고려해야 하는데, 혈관벽을 탄성력을 가지는 고체로 간주하여 해석한다. 나비에-스토크스 방정식이 비선형 고체역학의 지배방정식과 연성되며 해석의 난이도는 극강으로 상승한다. 몸 속의 피는 계속해서 순환하는 시스템이며, 심장의 수축 작용으로부터 생성되는 높은 압력이 사지 말단까지 피(유체)를 전달하는 동력이 된다.