고전역학- 뉴턴
전자기학 - 맥스웰
양자역학 - 슈뢰딩거
양자역학 시초, 상대성 이론 - 아인슈타인
● 미적분 (Calculus: 아이작 뉴턴, 1668)
미분은 함수의 순간 변화율로 국소적인 변화를 나타내는데, 주로 함수의 기울기를 나타낸다. 반면, 적분은 정의된 함수의 그래프와 그 구간의 넓이를 구하는 방법을 나타낸다. 미적분은 단연 현대 과학에서 가장 중요한 개념 중 하나이다. 이는 수학 및 물리학 등의 다양한 과학 분야에서 매우 기초적이고 필수적인 계산 도구이기 때문이다. 미적분은 흔히 수학의 꽃이라고 불릴 만큼 활용도가 높다.
미분 방정식은 열전도 현상, 바이러스의 증식 진동현상, 방사성 원소 붕괴 등에 지수/로그함수와 함께 자주 사용된다. 또한, 유체역학, 전자기학 등의 물리학 주요 과목과 공학 분야에서도 미적분은 빼놓을 수가 없다. 천문학에서는 천체들의 움직임을 예측하거나 전자기 복사 등의 상황에서도 미분방정식이 아주 흔하게 쓰인다. 건축학에서도 미분이 쓰이는데 곡선의 접선을 이용하여 운전자가 안전하게 도로에 진입할 수 있도록 도로를 만드는데에도 이용이 되며, 심지어는 무인카메라에서도 미분이 사용된다. 예를 들면 카메라 앞의 감지선을 지나가는 데 걸리는 시간과 그 후의 속도를 계산하여 과속을 판단하게 된다.
적분은 주로 항공우주나 의학 쪽에서 자주 이용된다. 신체의 단층면을 나타내주는 CT는 인체의 여러 각도에서 투과한 엑스선을 측정한 후 단면에 대해 흡수치를 재구성해낸다. 이를 통해서 신체 부위를 2차원 혹은 3차원 영상으로 나타내게 되는데, 이때 구분구적법의 개념이 사용된다. 이외에도 사회과학 및 경제학에서도 수많은 모델을 설명할 때 미적분이 사용된다.
● 만유인력의 법칙 (Law of Gravity: 아이작 뉴턴, 1687)
만유인력의 법칙은 뉴턴의 프린키피아(Principia)에서 처음 소개된 법칙인데, 질량을 가진 두 물체 사이에 작용하는 힘을 나타낸다. 위 힘은 두 점 질량 사이 질량들의 곱에 비례하며 점질량 사이의 거리 제곱에 반비례한다는 법칙이다. 위 법칙은 천문학이라는 학문을 만들었다고 해도 과언이 아니다.
만유인력의 법칙으로부터 여러 법칙이 파생되었고, 이를 통해서 작게는 달의 세차운동을 계산하는 데에 이용되며, 행성 및 혜성의 운동, 궤도 그리고 가속도 등을 구할 수 있다. 크게는 은하계의 운동 설명 등에도 이용되는 매우 일반적인 물리학 법칙이다. 위 법칙은 아인슈타인의 중력 법칙이 나오기 전까지 거의 모든 상황을 설명할 수 있는 법칙이었다. 만유인력의 법칙은 일상생활에는 매우 유효하지만, 극한 상황에서는 아인슈타인의 중력법칙으로 설명이 가능하다. 따라서 만유인력의 법칙이 틀렸다기보다는 아인슈타인의 이론이 뉴턴의 이론을 포용하는 포괄적인 이론이라고 할 수 있다.
● 맥스웰 방정식 (Maxwell’s equations) : 제임스 클락 맥스웰 1865)
맥스웰 방정식은 굳이 따로 설명할 필요가 없을 정도로 자연과학도와 공학도들에게 가장 사랑받는 방정식 중 하나이다. 맥스웰 방정식은 가우스 법칙, 가우스 자기 법칙, 패러데이 전자기 유도 법칙, 앙페르 회로 법칙을 통합한 방정식으로 전기/자기의 발생, 전기장과 자기장, 그리고 전하 밀도/전류 밀도의 형성을 나타내는 4개의 편미분 방정식으로 위 방정식을 통해서 빛은 전자기파임을 알 수 있게 되었다.
맥스웰의 방정식은 빛과 같은 전자기파의 특성을 설명하는데, 먼저 가우스 법칙은 하나의 전하에 의해 발생한 전기장의 세기를 기술한다. 위 방정식은 전자공학과 회로 이론에서 자주 이용된다. 두 번째 가우스 자기 법칙은 폐곡면의 총 자기 선속은 0이라는 의미인데, 홀극이 없으며 N극과 S극이 항상 함께 존재하는 자기의 특징상 일정한 공간으로 들어오는 자기력선과 나가는 자기력선의 크기는 언제나 같아서 서로 정반대의 방향으로 작용하는 크기의 힘의 합계는 언제나 0이라는 의미이다. 세 번째 패러데이 전자기 유도 법칙은 자기 선속이 변화함에 따라서 주변의 전기장이 발생한다는 법칙이며 이 원리는 발전소에서 교류 전류를 만들어내는 데 이용된다. 마지막, 앙페르 회로 법칙은 전류가 흐르는 전선을 따라서 자기장이 발생한다는 법칙이다. 이는 전동기에 자주 이용된다. 위 방정식들은 오래전부터 연구되어오면서 하나씩 정립되어 왔지만, 수학적으로 정리되지 않았었다. 맥스웰은 기존 연구 성과들을 한데 모아서 전기와 자기가 하나의 상호작용, 즉 전자기력에 의한 것임을 수학적으로 증명해냈다는 데에 큰 의의가 있다. 그는 이를 통해서 빛 역시 전자기파라는 것을 밝혔고, 전자기 복사의 발견을 예측하였다.
위 방정식들은 전자기학에서 가장 기본이지만 가장 중요한 방정식들로 처음과 끝을 함께하는 방정식이다. 또한 위 방정식들을 기반으로 양자역학이 태동하게 되었으니, 맥스웰 방정식의 물리학적 업적은 강조할 필요조차 없을 것이다.
● 상대성이론 (Theory of relativity: 알베르트 아인슈타인 1905, 1916)
상대성이론(혹은 상대론)은 시간과 공간을 정의하는 물리학 이론으로 세상에서 가장 유명한 공식이라고 불린다. 위 공식은 양자역학과 함께 현대 물리학에서 가장 중요한 이론 중 하나이며 우주를 설명하는 데 이용되는 이론이다. 상대성이론은 특수 상대성이론과 일반 상대성이론으로 나뉜다.
특수 상대성이론은 1905년 발표된 이론으로 시간과 공간은 속도에 따라서 ‘상대적’이며, 절대적이지 않다는 이론이다. 특수 상대성이론은 특수한 상황 즉, 관성계(정지해 있거나 등속도 운동을 하는 공간, 가속계가 아님)에서만 적용되는 상대성 이론이다.
특수 상대론은 ‘모든 관성계는 동등하다’라는 가정과 ‘진공에서의 빛의 속도는 어느 관성계에서나 일정하다’라는 두 가지 가정을 기반으로 시작된다. 특수 상대성이론의 결론으로는 관측자에 대해서 빠른 속도로 운동하는 물체는 길이가 짧아지며(‘길이 축소’), 시간이 느려지며(‘시간 지연’), 고전적인 운동량보다 더 큰 값을 가지게 된다는 점들이 있다. 또한 질량이 에너지로, 혹은 에너지가 질량으로 바뀔 수 있다.(E = mc의 제곱)
일반상대성이론은 1916년 발표되었으며 중력이론이다. 특수 상대성이론과는 다르게 일반적으로 관성계, 가속계 모두에 적용할 수 있으며, ‘에딩턴의 태양의 일식 관측’, ‘아인슈타인의 링(중력렌즈 현상)’을 포함하여 블랙홀과 중력파까지 발견 및 검출이 되었으므로 중력을 다루는 이론 중 가장 정확하게 실험적으로 검증된 이론이라고 할 수 있다. 속도가 적당히 느린 경우에는 뉴턴 법칙과도 상응되는 이론이며, 뉴턴 법칙에서 중력이 당기는 힘이라면 상대론에서는 공간을 휘는 힘으로 정의된다.
일반 상대성이론은 ‘모든계(관성계, 가속계)에서 물리법칙은 같다’라는 가정과 ‘관성질량과 중력질량은 같은 측정값을 지니며 구별할 수 없다(등가원리)’는 두 가지 가정을 기반으로 시작된다. 일반 상대성이론의 결론으로는 중력은 시간을 휘어지게 하므로 크면 시간이 느리게 간다는 점, 우주는 수축하거나 팽창한다는 점, 아인슈타인 방정식을 통해서 물질이 곡률을 결정한다는 점 등을 들 수 있다.
상대성이론의 의미는 굳이 강조하지 않아도 많은 사람들이 알고 있을 정도로, 위 이론은 엄청난 파장과 업적을 남겼다. 상대성이론의 가장 큰 의미라면 일종의 사고 체계의 전환이라는 점을 들 수 있다. 상대성이론은 고전 물리학(뉴턴 물리학)의 종언을 알리며 새로운 물리학 표준을 제시했다.(물론 뉴턴 물리학이 쓸모 없는 것은 절대로 아니다. 일상생활에서는 대부분의 물리 현상들은 뉴턴 물리학으로 증명이 가능하며, 뉴턴 물리학은 여전히 두루두루 쓰이고 있다) 또한 양자역학과 함께 현대 물리학이라는 새로운 학문을 창시하며 우리가 누리는 최첨단 세상을 가능하게 만들어 준 고마운 이론이다.
● 슈뢰딩거 방정식 (Schrödinger equation: 에르빈 슈뢰딩거 1927)]
슈뢰딩거 방정식은 양자상태가 시간에 따라 어떻게 변하는지를 기술하는 편미분방정식으로 계(시스템)의 파동 함수를 계산하고 이들이 시간에 따라 어떻게 동적으로 변하는지 알 수 있는 방정식이다. 위 방정식은 오스트리아의 천재 물리학자 에르빈 슈뢰딩거에 의해서 발표되었는데, 슈뢰딩거는 1935년 아인슈타인과 의견 교환 도중 제안된 ‘슈뢰딩거의 고양이 사고 실험’에 등장하는 그 슈뢰딩거이다.
슈뢰딩거 방정식은 드 브로이의 물질파 이론을 일반화한 방정식으로 위 방정식이 의미 있는 이유는 물질이 가지고 있는 파동의 성질을 수학적으로 표현할 수 있다는 점에 있다. 슈뢰딩거 방정식은 다소 추상적인 의미인 파동함수에 관해서 다루는데 파동함수로부터 어떤 측정 결과의 확률분포를 알 수 있다. 이처럼 고전 물리학과는 다르게 예측된 확률적인 결과를 보여주므로 결과의 분포를 예측할 수 있다. 고전 운동방정식과 슈뢰딩거 방정식은 다루는 대상에 있어서 차이가 있지만 슈뢰딩거 방정식으로도 고전 역학적 문제(고전 역학적 근사 필요)를 해결할 수 있다.
슈뢰딩거 방정식은 앞서 설명한 대로 상대론과 함께 현대물리학이라는 새로운 학문을 새로 만든 방정식이다. 또한 고체 물리, 반도체 공학 등에서 매우 중요한 방정식이다.