대수학, 代數學, algebra, 어원
대수학(代數學, algebra)은 일련의 공리들을 만족하는 수학적 구조들의 일반적인 성질을 연구하는 수학의 한 분야이다. 이렇게 일련의 추상적인 성질들로 정의되는 구조들을 대수 구조라고 하며, 그 예시로 반군, 군, 환, 가군, 체, 벡터 공간, 격자 등이 있다. 대수학은 취급하는 구조에 따라서 반군론, 군론, 환론, 선형대수학, 격자론, 정수론 등으로 분류된다.
기하학, 해석학, 정수론과 함께 대수학은 수학의 대분야 중 하나로 볼 수 있다. 대수학이란 용어는 단순한 산술적 수학을 가리키기도 하나, 수학자들은 군, 환, 불변량 이론과 같이 수 체계 및 그 체계 내에서의 연산에 대한 추상적 연구에 대해서 "대수학"이라는 용어를 자주 사용한다.
어원
algebra라는 명칭은 페르시아의 저명한 수학자인 콰리즈미(783~850)가 쓴 《약분·소거 계산론(영어판)》(아랍어: الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة 알키탑 알묵타사르 피 히삽 알자브르 왈무까발라[*])에서 비롯되었다. 책의 원 제목에 있는 ‘자브르(아랍어: جبر)’는 (흩어진 것을) 묶는다는 뜻으로, 이 책에서는 방정식에서 항들을 묶어서 소거하는 것을 부르는 말로 쓰였다.
‘대수(代數)’라는 말은 수를 대신한다는 뜻으로, 수 대신 문자를 쓴다는 점에 착안한 번역어이다. ‘대수’라는 번역어는 드 모르간의 《Elements of Algebra》(1835)를 1859년 알렉산더 와일리(영어판)와 이선란이 번역한 《대수학》에서 처음 쓰였다.
역사
고대의 대수학에 대한 주요 저서로는 에우클레이데스의 원론(기원전 3세기)이나 구장산술(3세기), 디오판토스의 산술(영어판)(3세기) 등이 있다. 9세기에 페르시아의 수학자 콰리즈미는 《약분·소거 계산론(영어판)》(820년)를 통해 대수학을 하나의 독립적인 분야로 정립했다. 이 책은 1145년 체스터의 로버트(영어판)가 《알게브라와 알무카발라의 서(書)》(라틴어: Liber algebrae et almucabala)란 제목으로 라틴어로 번역한 뒤 다섯 세기에 걸쳐서 유럽의 대학에서 사용되었다. 여기서 "알게브라"(라틴어: algebra)와 "알무카발라"(라틴어: almucabala)는 해당하는 아랍어 단어를 음역한 것이다. 또한 콰리즈미의 저서인 "인도 수의 계산법"이 라틴어로 번역되면서 2차 방정식, 사칙연산, 십진법, 0 등의 개념이 소개되었다.
19세기 이후에는 에바리스트 갈루아가 대수 방정식을 연구하기 위해서 군이라는 대수적 구조를 도입하였고, 조지 불은 논리학을 연구하기 위해서 불 대수라는 대수적 구조를 정의하였다. 이후 현대 수학에서는 다비트 힐베르트의 공리 주의나 니콜라 부르바키 스타일에서 찾아볼 수 있듯이, 고전적인 대수학에서 상당히 거리가 추상화되어 있으며, 방정식의 해법은 "방정식론"(대수방정식론)이라는 대수학의 일부분에 불과하다.
대수학(Algebra)
19세기 이전까지의 대수학의 주된 내용은 정수론과 방정식의 해법이었다. 그러나, 아벨과 갈로아가 5차 이상의 방정식의 대수적 해법이 불가능함을 보이는 데 군과 체의 개념을 사용하면서 다양한 대수계가 탄생하였다. 대수계는 몇 가지 공리를 만족하는 연산을 갖춘 집합으로서, 군, 환 및 가군, 벡터공간, 체, 카테고리 등 많은 대수계의 구조론을 연구하는 것이 대수학이다. 이들 이론은 그 자체로서 중요할 뿐만 아니라, 대수적 방법론을 통하여 해석학, 기하학, 위상수학의 발전에 지대한 영향을 미쳤다. 최근에는 이론물리학, 응용수학에도 이용되고 있다. 주요 연구분야는 다음과 같다.
(1) 대수적 구조론(Algebraic Structures) : 군이나 환 및 가군의 구조를 연구한다. 군론은 수학의 여러 분야뿐만 아니라 양자역학, 소립자이론 등에도 응용된다. 비가환 환은 수학이나 수리물리에서 흔히 나타나는 예들이 갖는 구조이므로 이에 대한 이론의 전개도 중요하다.
(2) 표현론 (Representation Theory) : 표현론은 여러 대수적인 구조 (혹은 그 위에 기하적, 위상적인 구조가 첨가된 구조) 등을 벡터공간위의 선형사상으로 나타내 보임으로써 대수적인 구조들을 이해하고자 하는 분야이다. 표현론은 정수론, 대수학, 기하학, 위상수학, 이론물리학 등의 도구로 사용되며 동시에 이들 분야의 도구들을 사용하고 있다. 표현론에는 군표현론 및 지표이론, 다원환의 표현론, 그리고 리이론이 포함되어 있다. 리이론은 고전군에서 시작하여 리군, 리대수, 대수군, 양자군 등의 구조와 표현론을 연구하는 분야이다. 표현론은 "페르마의 마지막 정리"의 증명에도 중요한 역할을 하였으며, 최근 양자군의 표현론을 이용하여 양자 양-박스터 방정식의 해를 구하는 등, 이론물리학에도 응용되고 있다.
(3) 정수론 (Number Theory) : 정수론은 고대 그리스의 피타고라스, 유클리드 등에 의하여 학문적 기초가 정립된 오랜 역사를 가진 학문이다. 현대 정수론은 "페르마의 마지막 정리"로 유명한 페르마로부터 시작되었으며, 가우스, 오일러, 힐버트 등을 거치면서 오늘에 이르렀다. 오늘날 정수론의 연구주제와 방법은 매우 세분화되고 다양해졌지만, 주된 내용은 결국 소수와 정수계수방정식의 두 가지로 요약할 수 있으며, 방법론에 따라 해석적, 대수적, 산술적 정수론으로 분류하기도 한다. 정수론은 순수수학 중에서도 순수한 분야라고 인식되어 왔으나, 최근에는 암호학이나 부호이론 등에의 응용성도 크게 부각되고 있다.
(4) 대수기하학과 가환대수(Algebraic Geometry and Commutative Algebra) : 대수기하학은 대수적 다양체를 연구하는 학문이다. 19세기 경, 리만의 함수론적 연구, 브릴, 뇌터의 사영기하학적 연구, 크로네커, 데디킨트, 베버의 대수학적 연구 등 다양한 연구방법을 기초로 시작되었다. 이후 사영다양체에 관해 큰 연구성과를 올린 이탈리아 학파의 수학적 언어와 방법을 보완하여, 1960년대 쎄르, 그로텐디에크는 웨이유와 자리스키가 마련한 대수적 기틀 위에서 대수기하학을 새로이 정립하였다. 그후 대수기하학은 빠른 속도로 학문적 발전을 이루었다. 정수론, 복소해석학, 가환대수, 호몰로지대수, 미분기하학 등 많은 분야를 토대로 대수기하학은 발전하여 왔고, 역으로 이들 분야의 발전에 큰 영향을 주고 있다.
(5) 응용대수학 (Applied Algebra) : 응용대수학은 대수적인 방법을 사용하는 응용수학으로 암호이론과 부호이론이 그 주류이다. 공개키 암호를 비롯한 암호이론의 기초는 큰 정수의 소인수분해이며, 이는 정수론 및 타원곡선이론과 깊은 관련이 있다. 또한 실제로 암호를 만들고 해독할 때에는 알고리즘 등 컴퓨터 관련 수학도 필요하게 된다. 부호이론에서는 주로 스스로의 오류를 찾아내어 수정하는 부호를 연구한다. 이 분야는 조합론, 그래프이론, 스피어 패킹, 유한단순군론 등과 밀접한 관련을 갖고 있다.