몬테카를로 시뮬레이션(Monte Carlo Method)
| ▶ 몬테카를로 방법은 무작위 추출된 난수를 이용하여 원하는 함수의 값을 계산하기 위한 시뮬레이션 방법으로 자유도가 높거나 닫힌 꼴(closed form)의 해가 없는 문제들에 널리 쓰이는 방법이지만 어느 정도의 오차를 감안해야만 하는 특징이 있음. ▶ 마르코프 체인(Markov Chain)은 시간이 지나감에 따라 현재 상태가 다른 상태로 변화하는 과정을 확률로 표현한 것인데, 러시아 수학자인 안드레이 마르코프(Andrey Markov, 1856-1922)에 의해 만들어졌다. 마르코프 체인이 특정한 수학적 성질을 만족하게 되면, 체인을 무수히 반복한 뒤에는 특정한 확률 분포의 형태로 수렴하게 되는 성질이 있음. ▶ 마르코프 체인 몬테 카를로 방법(Markov Chain Monte Carlo Method, 약칭 MCMC)은 몬테 카를로 방법 중에서도 특정한 확률분포에 수렴하는 난수들을 추출하고 싶을 경우에 사용하는 방법으로 난수를 추출하는 '몬테 카를로' 방식을 사용하되 여기에 '마코프 체인'이라는 수학적 개념의 성질을 이용한 것에서 유래됨. |
⦁ 몬테카를로 시뮬레이션은 의사결정자의 개입이 없는 객관적인 미래예측 방법으로 시나리오별로 복수개의 의사결정 안을 도출하여 최적 안을 선정함.
- 변수의 관계가 확실하여 예측치를 정확하게 찾을 수 있는 확정 모형(deterministic model) 과는 달리 결과를 정확하게 예측할 수 없는 확률모형(stochastic model)에서 분석적인 방법으로 해를 찾는 것이 불가능한 경우에는 수치적(numerical)으로 일련의 난수를 반복적으로 발생시켜 시뮬레이션을 통해 답을 찾을 수 있음.
⦁ 해를 구하기 어려운 다양한 분야의 문제를 확률모형과 난수를 이용하여 솔루션을 얻는 시뮬레이션 방법
⦁ 해석 대상에 대한 통계 자료가 많고 입력 값의 분포가 일정할수록 정밀한 시뮬레이션 가능
⦁ 주어진 문제에 적합한 확률분포 적용을 위해 해당 확률분포를 따르는 난수를 생성하는 알고리즘이 중요
⦁ 기본 사상은 각각의 단위 변수의 패턴을 알아내서 의사결정을 위한 그 단위 변수의 조합의 패턴을 추정하는 것으로 각각의 변수의 확률분포를 통합해서 목표로 하는 값의 확률분포를 알아내는 방법
- 알고리즘의 반복과 큰 수의 계산으로 다양한 컴퓨터 모의실험 기술을 사용하여 컴퓨터로 계산하는 것이 바람직함.
□ 다양한 분야에서 활용되는 몬테카를로 시뮬레이션
• 산업 및 금융 분야의 불확실성 증대에 따라 시뮬레이션을 통한 현상 해석 및 예측의 중요성이 증대
• 전기/전자, 기계, 재료, 자연과학 등 다양한 산업분야에서 고가의 실험 비용 감축 및 현상의 해석을 위해 활용
• 파생상품 가격 추정 및 리스크 계산 등 금융 분야의 예측 및 평가에 해석적 방법의 단점을 극복하기 위해 적용
∎ 몬테카를로 시뮬레이션 과정
⦁ 몬테카를로 방법은 문제 정의 → 확률변수 선택 → 자료 수집 → 확률분포 선택 → 난수 발생 → 반복 실험 → 모델 생성으로 진행함. 생성된 모델에 무작위 추출된 난수(Random number)를 이용한 반복 실험으로 해를 예측하기에 풀고자 하는 문제의 모델 생성이 핵심이며 이 방법은 오차가 5 ~ 10%정도 발생함.
① 문제 정의 - 불확실한 상황의 의사결정 또는 알고자 하는 실질적인 문제를 정의함.
② 확률변수(x) 선택 - 예측할 수 없는 확률모형의 영향을 미치는 대부분의 요소들이 확률변수이므로 이의 선택이 중요함.
③ 자료 수집
④ 확률변수의 확률분포(P(x)) 선택 - 확률변수가 취할 수 있는 값(수치) 들과 그러한 값들을 취할 가능성(확률)을 표나 그래프, 함수 등의 형태로 나타낸 확률분포( Probability Distribution) 형태 선정이 우리가 알고자 하는 확률변수의 정확도를 결정하게 됨.
⦁ 정규분포 (Normal distribution)
⦁ 로그정규분포 (Lognormal distribution) - 양의 방향으로 꼬리가 긴 분포 (오른쪽으로 꼬리가 긴 분포)
⦁ 삼각형 분포 (Triangular distribution) - 최소값, 최대값, 최빈값을 알고 있을 때 사용할 수 있는 분포
⦁ 균등 분포 (Uniform Distribution) – 최소값과 최대값 사이의 모든 값의 발생 가능성이 동일한 연속 확률분포
⑤ 확률변수의 난수(RandomNumber) 발생 – 난수를 생성하는 방법은 반복적으로 룰렛을 돌리는 것과 같은 물리적 방법과 컴퓨터를 활용해 난수를 인위적으로 생성하는 방법 등이 있음.
- 난수는 균등하게 분포되어야 하며 난수의 범위(0에서 1 또는 0에서 100)에서 각 난수는 동일한 선택 기회를 가져야 하고 난수의 순서는 특정한 반복적 형태를 드러내서는 안됨.
⑥ 시뮬레이션 실험 실시
- 발생된 난수를 식에 대입하여 시뮬레이션 실험을 실시, 여러 번 시뮬레이션을 실행할수록 좀 더 자세한 예측치를 얻을 수 있음.
⑦ 통계치 계산 및 결과 해석
- 시뮬레이션을 실행하여 얻은 결과는 관심 있는 문제에 대한 통계적 추정치와 각 척도에 대한 점 추정치와 함께 일반적으로 그 척도의 참값이 포함될 가 능성이 높은 범위를 나타내는 신뢰구간을 구함.
(사례)
시뮬레이션을 통한 확률 계산 중 가장 유명한 것은 원자폭탄 개발을 목적으로 한 맨해튼 프로젝트(Manhattan Project)에서 실제로 사용된 방법이라고 알려져 있다.
원자 폭탄의 원리는 중성자들이 서로 충돌, 분열해서 많은 중성자들을 방출하고 이 현상이 반복 확산함으로써 폭발을 유도한다는 것이다. 충돌했을 때 중성자들의 분열은 일정한 확률에 따라서만 생기는 현상이기 때문에 폭발에 이르기까지의 충분한 분열, 확산을 보장하기 위해서는 이 확률을 알기 위해 몬테카를로 시뮬레이션을 적용했다.
연구(R&D) 기획 업무의 경우 불확정적인 정보들로 인해 결론을 내리기가 애매한 경우가 많다. 기획은 planning이기 때문에 forecasting과 추론을 포함할 수밖에 없으며 여기에 영향을 미치는 대부분의 요소들은 확률변수이다.
확률이 존재하는 의사결정이 필요한 상황에 몬테카를로 시뮬레이션(Monte-Carlo Simulation)은 매우 유효한 Tool임.
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