내시 균형(Nash equilibrium)
게임 이론에서 경쟁자 대응에 따라 최선의 선택을 하면 서로가 자신의 선택을 바꾸지 않는 균형상태를 말한다. 상대방이 현재 전략을 유지한다는 전제 하에 나 자신도 현재 전략을 바꿀 유인이 없는 상태를 말하는 것으로 죄수의 딜레마(Prisoner's Dilemma)와 밀접한 관계가 있다.
게임이론에서 내시균형이란 두명이나 그 이상의 경기자들의 비협조적인 게임에서 각 경기자들이 다른 경기자들의 균형전략을 알고 있다고 가정할 때 어떠한 경기자들도 자신의 전략을 바꾸지 않게 되는 비협조적인 게임에 관한 해결방식이다. 만약 각 경기자들이 자신의 전략을 고수하고 아무도 전략을 바꾸지 않는다면 현재의 전략선택은 내시균형에 부합하는 결과를 갖게 된다. 간단히 말하면 Amy는 Phil의 결정이 변함이 없는 동안 Phil의 결정을 고려하여 그녀가 할 수 있는 최적 선택을 하고, Phil 역시 Amy의 결정이 변함이 없는 동안 Amy의 전략을 고려하여 결정한다면 Amy와 Phil은 내시균형을 갖는다. 이와 같이 한 그룹의 경기자들은 그들이 다른 경기자들의 결정을 참고하여 내린 최적결정은 내시균형에 있다는 뜻이다.
게임이론의 핵심은 '합리적 공통지식(common knowledge of rationality)'이다. 이를 쉽게 말하면, 모든 경기자들은 게임의 보수와 규칙을 인지하고 있으며, 자신에게 가장 이득이 되는 선택을 한다는 것이다.
내쉬 균형의 여러 가지 패턴
1. 우월전략이 있는 경우의 내쉬균형 - 죄수의 딜레마
가장 대표적인 사례는 '죄수의 딜레마'이다. 죄수 A와 B가 있고, 조사관이 각각의 죄수와 따로따로 취조를 진행한다. 이 때 조사관이 죄수들에게 딜을 거는데 내용은 간단하다.
○만약 너가 자백하고, 옆방에 있는 다른 죄수도 죄를 자백하면 둘 다 5년 형을 받는다
○너는 자백했는데 옆방 죄수는 부인한 경우, 너는 풀려나고 다른 죄수는 20년을 받는다
○반대로 너는 부인하고 옆방 죄수는 자백한 경우, 너는 20년을 받고 다른 죄수는 풀려난다
○만약 둘 다 부인한 경우에는 둘 다 1년 형을 받는다
죄수의 딜레마 게임에는 우월전략이 있다. 상대가 어떤 결정을 하든 나는 자백을 하는 것이 유리하기 때문이다.
쉽게 말해, 어떻게 생각해도 단 하나의 결론에 도달할 수 밖에 없는 경우, 그 전략을 우리는 우월전략(dominant strategy)이라 부른다. 이 때의 내쉬균형은 당연히 둘 다 자백을 하는 상황이다.
하지만 내쉬균형이 언제나 파레토 최적인 것은 아니다.
즉, 내쉬균형에 해당하는 '둘 다 자백을 하는 경우'에는 죄수들이 각각 5년형을 받지만, 만약 둘 다 죄를 부인하는 경우에는 각각 1년형만 받아도 되기 때문이다.
그럼에도 두 죄수가 자백을 선택하는 이유는 두 죄수가 서로 고립되어 전략을 공유할 수 없는 환경에 있기 때문이다.
두 죄수가 서로 협의할 수 있다면, 둘 다 죄를 부인하고 1년을 받을 수 있겠지만, 현재는 상대가 어떤 선택을 할 지 모르기 때문에 혼자서 죄를 부인할 경우 받을 수 있는 20년형이란 최악의 결과를 피하고자 자백을 선택하게 되는 것이다.
2. 우월전략이 없는 경우의 내쉬균형 - 예산책정 사례
A사와 B사는 경쟁관계에 있는 기업이다. 다음 분기 신제품 발매를 앞두고 양사는 홍보예산의 책정으로 고민하고 있다. 이 예산책정 게임에 있어 각사가 각각의 선택에 따라 받을 수 있는 보상은 아래와 같다고 가정하자.
○두 기업 모두 예산을 확대하는 경우 : A사 B사 각각 500억씩 수익
○두 기업 모두 예산을 감축하는 경우 : A사 B사 각각 1,000억씩 수익
○만약 한쪽만 예산을 확대하는 경우 : 확대한 쪽은 800억, 감축한 쪽은 400억 수익
만약 기업B가 예산을 확대하는 가운데 기업A가 예산을 줄일 경우, A사는 400억의 수익 밖에 못 챙기고, 경쟁사에게 두 배의 수익을 허락해야 한다. 이는 B사의 입장에서도 동일하다.
반면 A사와 B사가 모두 예산을 확대할 경우, 양사는 똑같이 500억씩 수익을 올리게 된다. 따라서 이 경우에 내쉬균형은 '양사가 모두 예산을 확대하는 경우'가 된다.
반대로 기업B가 예산을 감축하는 선택을 내린 경우를 생각해보자. 이 때 기업A가 예산을 확대할 경우 받게 될 수익은 800억이다. 그리고 경쟁사인 B사는 절반인 400억을 챙기게 된다.
한편 A사가 B사를 따라서 예산을 감축할 경우, 양사는 동일하게 1,000억씩의 수익을 확보할 수 있다.
경쟁사의 수익과 상관없이 A사 입장에서는 함께 예산을 줄이는 편이 더 많은 수익을 가져다주기 때문에 결국 예산감축이란 선택을 하게 된다. 따라서 이 경우 내쉬균형은 '양사가 모두 예산을 감축하는 경우'가 된다.
죄수의 딜레마에서는 최적대응이라 할 수 있는 우월전략이 존재했다. 즉, 상대가 어떤 선택을 하든 자신은 자백을 하는 편이 유리했다.
그러나 위의 예산책정 사례에는 우월전략이 존재하지 않는다. 자신의 보상이 상대의 선택에 의해 좌우되기 때문에 A사와 B사는 상대의 선택을 고려하여 최적의 선택을 해야 한다.
상대가 내릴 수 있는 선택은 두 가지다. 예산을 올리거나 내리거나. 그리고 그러한 선택에 자신이 대응할 수 있는 선택도 두 가지다. 상대와 동일한 선택을 하거나 아니면 반대의 선택을 하거나.
따라서 이 경우 내쉬균형은 2개가 된다. 여기서 또 하나 중요한 사실은, 내쉬균형이 1개가 아닐 수도 있다는 것이다.
3. 내쉬균형이 존재하지 않는 경우 - 혼합전략 게임
사실 내쉬균형이 존재하는 않는 경우는 없다. 내쉬균형이 존재하지 않는다는 것은 '순수전략(pure strategy)'에서 그것이 존재하지 않는다는 것을 뜻할 뿐, 혼합전략 게임에서 내쉬균형은 반드시 존재한다.
참고로 순수전략이란 '혼합전략(mixed strategy)'에 대비되는 개념으로, 정규형 게임에 나타나는 전략 중 100% 확률로 선택하게 되는 전략을 의미한다.
가장 대표적인 혼합전략 게임은 바로 '가위바위보 게임'이다. 가위바위보 게임에는 당연히 우월전략이 존재하지 않는다. 두 사람 모두 만족하는 결과도 없다.
앞서 살펴본 두 게임. '죄수의 딜레마', '예산책정'은 비교적 합의를 할 수 있는 균형점이 있었다. 그리고 우리는 그것을 행과 열로 이루어진 보상행렬표로 표현했다.
하지만 가위바위보 게임에는 그러한 것도 없다. 이 때 내쉬균형을 도출하는 방법은 확률로 그것을 표현하는 것이다.
가위바위보를 무작위로 낼 때와 한 가지만 내는 사람 중 누가 승률이 높을까? 당연히 무작위로 내는 쪽이다.
예를 들어 누군가가 오직 가위만을 낸다면, 상대방은 주먹만 냄으로서 승리를 보장받기 때문이다. 따라서 이 게임의 보상표현은 (1/3, 1/3, 1/3)이 된다.
순수전략이 존재하는 죄수의 딜레마나 예산책정 사례와 달리, 가위바위보 게임에서는 자신의 선택에 대해 100% 승리를 확신할 수 없기 때문에 위와 같이 확률에 기인하여 선택을 내리게 되는 것이다.
축구의 승부차기, 야구에서 타자와 투수의 승부, 동전 던지기 등의 사례에서도 마찬가지로 혼합전략균형이 적용된다.
키커에게는 일정한 패턴 없이 상하좌우를 적절히 섞어 가며 슈팅하는 것이 유리한 전략이고, 투수에게는 직구 일변도가 아니라 포커볼이나 슬라이더를 적절히 섞어가며 무작위로 던지는 것이 승리의 확률을 높이는 방법이다.
Q 기업 A와 B는 연구개발비에 대한 전략으로 대규모 예산과 소규모 예산 중 하나를 선택할 수 있다. 두 기업이 동시에 각각 한 전략을 한 번만 선택하는 게임의 보수행렬은 다음 표와 같다. 이 게임에 대한 설명으로 옳은 것은? (단, 표에서 왼쪽 금액은 기업 B, 오른쪽 금액은 기업 A의 보수를 나타낸다)
① 기업 A의 우월전략은 대규모 예산이다.
② 기업 A가 소규모 예산을, 기업 B가 대규모 예산을 선택하는 경우는 내쉬균형이 된다.
③ 기업 A가 대규모 예산을, 기업 B가 대규모 예산을 선택하는경우는 내쉬균형이 된다.
④ 기업 A가 소규모 예산을, 기업 B가 소규모 예산을 선택하는경우는 내쉬균형이 된다.
【해설】 정답 ③
기업 B가 대규모 예산을 선택하면 기업 A는 대규모 예산을 선택하고, 기업 B가 소규모 예산을 선택하면 기업 A는 소규모 예산을 선택하므로 기업 A의 우월전략은 존재하지 않는다.
기업 A가 대규모 예산을 선택하면 기업 B는 대규모 예산을 선택하고, 기업 A가 소규모 예산을 선택하면 기업 B는 대규모 예산을 선택하므로 기업 B의 우월전략은 대규모 예산이다.
따라서 이 게임의 내쉬균형은 (대규모 예산, 대규모 예산)이다.
잡스9급 PDF 교재
✽ 책 구매 없이 PDF 제공 가능
✽ adipoman@gmail.com 문의