수학 분류 : 대수학(Algebra), 기하학(Geometry), 해석학(Analysis), 위상수학 (Topology), 응용수학(Applied Mathematics)
대수학(Algebra)
19세기 이전까지의 대수학의 주된 내용은 정수론과 방정식의 해법이었다. 그러나, 아벨과 갈로아가 5차 이상의 방정식의 대수적 해법이 불가능함을 보이는 데 군과 체의 개념을 사용하면서 다양한 대수계가 탄생하였다. 대수계는 몇 가지 공리를 만족하는 연산을 갖춘 집합으로서, 군, 환 및 가군, 벡터공간, 체, 카테고리 등 많은 대수계의 구조론을 연구하는 것이 대수학이다. 이들 이론은 그 자체로서 중요할 뿐만 아니라, 대수적 방법론을 통하여 해석학, 기하학, 위상수학의 발전에 지대한 영향을 미쳤다. 최근에는 이론물리학, 응용수학에도 이용되고 있다. 주요 연구분야는 다음과 같다.
(1) 대수적 구조론(Algebraic Structures) : 군이나 환 및 가군의 구조를 연구한다. 군론은 수학의 여러 분야뿐만 아니라 양자역학, 소립자이론 등에도 응용된다. 비가환 환은 수학이나 수리물리에서 흔히 나타나는 예들이 갖는 구조이므로 이에 대한 이론의 전개도 중요하다.
(2) 표현론 (Representation Theory) : 표현론은 여러 대수적인 구조 (혹은 그 위에 기하적, 위상적인 구조가 첨가된 구조) 등을 벡터공간위의 선형사상으로 나타내 보임으로써 대수적인 구조들을 이해하고자 하는 분야이다. 표현론은 정수론, 대수학, 기하학, 위상수학, 이론물리학 등의 도구로 사용되며 동시에 이들 분야의 도구들을 사용하고 있다. 표현론에는 군표현론 및 지표이론, 다원환의 표현론, 그리고 리이론이 포함되어 있다. 리이론은 고전군에서 시작하여 리군, 리대수, 대수군, 양자군 등의 구조와 표현론을 연구하는 분야이다. 표현론은 "페르마의 마지막 정리"의 증명에도 중요한 역할을 하였으며, 최근 양자군의 표현론을 이용하여 양자 양-박스터 방정식의 해를 구하는 등, 이론물리학에도 응용되고 있다.
(3) 정수론 (Number Theory) : 정수론은 고대 그리스의 피타고라스, 유클리드 등에 의하여 학문적 기초가 정립된 오랜 역사를 가진 학문이다. 현대 정수론은 "페르마의 마지막 정리"로 유명한 페르마로부터 시작되었으며, 가우스, 오일러, 힐버트 등을 거치면서 오늘에 이르렀다. 오늘날 정수론의 연구주제와 방법은 매우 세분화되고 다양해졌지만, 주된 내용은 결국 소수와 정수계수방정식의 두 가지로 요약할 수 있으며, 방법론에 따라 해석적, 대수적, 산술적 정수론으로 분류하기도 한다. 정수론은 순수수학 중에서도 순수한 분야라고 인식되어 왔으나, 최근에는 암호학이나 부호이론 등에의 응용성도 크게 부각되고 있다.
(4) 대수기하학과 가환대수(Algebraic Geometry and Commutative Algebra) : 대수기하학은 대수적 다양체를 연구하는 학문이다. 19세기 경, 리만의 함수론적 연구, 브릴, 뇌터의 사영기하학적 연구, 크로네커, 데디킨트, 베버의 대수학적 연구 등 다양한 연구방법을 기초로 시작되었다. 이후 사영다양체에 관해 큰 연구성과를 올린 이탈리아 학파의 수학적 언어와 방법을 보완하여, 1960년대 쎄르, 그로텐디에크는 웨이유와 자리스키가 마련한 대수적 기틀 위에서 대수기하학을 새로이 정립하였다. 그후 대수기하학은 빠른 속도로 학문적 발전을 이루었다. 정수론, 복소해석학, 가환대수, 호몰로지대수, 미분기하학 등 많은 분야를 토대로 대수기하학은 발전하여 왔고, 역으로 이들 분야의 발전에 큰 영향을 주고 있다.
(5) 응용대수학 (Applied Algebra) : 응용대수학은 대수적인 방법을 사용하는 응용수학으로 암호이론과 부호이론이 그 주류이다. 공개키 암호를 비롯한 암호이론의 기초는 큰 정수의 소인수분해이며, 이는 정수론 및 타원곡선이론과 깊은 관련이 있다. 또한 실제로 암호를 만들고 해독할 때에는 알고리즘 등 컴퓨터 관련 수학도 필요하게 된다. 부호이론에서는 주로 스스로의 오류를 찾아내어 수정하는 부호를 연구한다. 이 분야는 조합론, 그래프이론, 스피어 패킹, 유한단순군론 등과 밀접한 관련을 갖고 있다.
해석학(Analysis)
자연현상을 설명하는 가장 좋은 도구로 인정받고 있는 미분과 적분의 개념을 엄밀하게 규명하고, 이를 이용하여 다양한 함수들의 성질을 연구하는 것이 해석학이다. 다루는 함수의 종류에 따라서, 실 및 복소해석학, 함수해석학, 비선형해석학 등으로 구분될 수 있고, 이는 여러 가지 미분방정식이나 적분방정식을 푸는 데에 직접적으로 응용되고 있다. 주요 연구분야는 다음과 같다.
⑴ 복소해석학 (Complex Analysis) : 대수학의 기본정리라 불리우는 유명한 가우스의 정리는 "복소계수를 갖는 다항식 방정식은 반드시 복소수의 근을 가진다"는 것이다. 이런 의미에서 복소수 체는 수개념의 확장, 즉 대수방정식의 해가 가능하도록 수의 체계를 확장해 나가는 과정의 완성이라 할 수 있다. 함수의 변화를 정량적으로 다루는 해석학에서는 무한급수의 수렴성, 함수의 영집합 등을 기술하는 일은 복소변수를 사용할 때 가장 자연스럽고 간결하게 기술된다는 사실이 18세기 말경부터 점차 인식되었다. 해석함수론은 19세기에 코시, 바이어스트라스, 리만 등에 의해 이론이 정립되었는데, 이는 코시 적분정리 위에 논리정연한 하나의 체계로 구축되어 있어 수학이론의 가장 아름다운 전형으로 꼽히고 있다. 오늘날 해석함수론은 수론, 대수기하학, 미분기하학, 편미분방정식과 밀접한 관련이 있고, 공학을 비롯한 여러 응용과학 분야에도 필수적인 도구로 사용되고 있다. 본 학과에서는 주로 다변수 복소해석학과 복소다양체의 해석학을 연구하고 있다. 세부적으로는 복소곡선의 특이점 연구, 리만곡면상의 보형함수에 대한 연구, 코시-리만 다양체와 접 코시-리만 방정식의 연구 등을 수행하고 있다. 상기 분야들은 근래 세계적으로 활발히 연구되고 있는 복소해석학의 중심분야들이다. 20세기의 복소해석학은 주로 다변수 해석함수론을 중심으로 발달하였다. 특히 전자기에 관한 맥스웰 방정식이 미분형식을 빌어 간단히 표현되고 그 해가 복소사영공간의 선적분으로 표현된다는 사실이 로빈슨, 펜로즈 등에 의해 밝혀진 1970년대 이후에는 다변수복소해석학과 복소다양체 위의 해석학이 현대 이론 물리학의 중요한 표현 수단이 되고 있다.
⑵ 함수해석학 (Functional Analysis) : 함수 혹은 작용소를 모아 놓은 공간의 대수 및 위상구조를 연구함으로써, 미분방정식 등 해석학 본래의 문제에 접근하는 것이 함수해석학이다. 이를테면 여러가지 미분방정식의 해를 찾기 위하여 연속함수공간이나 적분가능함수공간을 확장하여 일반화된 함수공간이나 초함수공간을 연구한다. 한편, 행렬공간의 무한차원확장으로 이해할 수 있는 작용소대수의 특성은 가환법칙이 성립하지 않는다는 것인데, 이와 관련된 비가환역학계 및 비가환미분기하 등이 연구되고 있으며 이는 현대물리를 이해하는 중요한 도구가 되고 있다.
⑶ 비선형해석학 (Nonlinear Analysis) : 부동점정리, 단조 및 증대작용소, 비선형반군, 여러가지 미분가능성, 변분원리, 국소볼록공간에서의 해석학 및 일반볼록해석학, 무한차원 다양체이론, 분포이론, 볼록최적화이론 등과 이들 이론의 편미분방정식에의 응용을 연구한다.
⑷ 편미분방정식 (Partial Differential Equation) : 크게 선형편미분방정식과 비선형편미분방정식으로 나뉜다. 선형편미분방정식 분야에서는 초함수론, 푸리에 적분작용소, 미국소해석학, 의미분작용소 및 선형편미분 방정식의 일반이론을 연구한다. 비선형편미분방정식 분야에서는 역학이나 물리학의 여러분야에서 모형화된 비선형편미분방정식들, 예를 들면 나비어-스톡스방정식, 오일러 방정식, 긴즈버그-란다우 방정식, 게이지장 방정식 등의 코시문제, 경계치문제들에 대해서 해의 존재성, 정칙성, 유일성, 점근적 행태 및 기타 해석학적 문제들을 연구하고 있다.
기하학(Geometry)
우리 주변에서 많은 양의 복잡한 정보를 시각적 모델로 바꿔놓으면 처리하기 쉬워지는 경우가 많다. 이를테면 통계자료를 그래프로 그려놓으면 한눈에 알아볼 수 있고, 컴퓨터의 운영체계를 도스에서 윈도즈로 바꿔놓으면 다루기 편해진다. 이것은 인간이 가진 시각적 직관이라는 신비한 능력 때문이다. 수학이나 과학의 여러분야에서 등장하는 문제를 시각적모델로 바꾼 후, 수학적으로 검증된 시각적 직관을 이용해서 해결하는 것이 기하학이다. 따라서 어떤 주어진 문제를 시각적 모델로 바꾸는 것과, 아울러 얻어진 시각적 모델에 대한 시각적 직관을 수학적으로 엄밀히 검증하는 일이 기하학의 주요한 작업이다.
한편, 다루고자 하는 문제의 성격에 따라 여러가지 기하학이 등장한다. 다변수 고차 연립방정식의 근을 이해하려면 그것을 좌표공간 안에 정의된 도형으로 보는 것이 편하다는 것이 데카르트에 의해 알려지면서, 해석기하 또는 대수기하가 생겨나게 되었다. 20세기에 들어와서, 정수방정식을 풀기 위하여 정수집합을 일종의 곡선으로, 방정식을 일종의 곡면으로 보는 모델을 만들어서, 시각적 직관을 써서 정수론의 문제를 해결하는 산술기하학도 탄생하였다. 이와 같이 수학, 과학, 공학 등 여러 분야에서 다양한 시각적 모델을 통하여 기하학이 사용된다. 이러한 다양한 시각적 모델들이 대부분 다양체라는 하나의 공통된 공간의 개념의 틀 안에서 설명되는데, 이와 같이 기하학을 통해서 겉보기에 동떨어진 여러 분야가 서로 연결되어 상호발전에 도움이 되기도 한다. 주요 연구분야는 다음과 같다.
(1) 리만기하학(Riemannian Geometry) : 지표 위의 두 도시 사이의 최단거리를 구하는 것과 같은 문제로부터 출발하여, 일반적으로 거리와 각도의 개념이 있는 공간을 연구하는 분야이다. 고전적인 유클리드기하학을 비롯하여, 비누막의 기하학 등 우리와 가장 친근한 기하학들이 여기에 속한다. 20세기 중반 이후, 유체역학방정식의 연구가 거리와 각도의 구조를 갖는 무한차원공간의 기하를 공부하는 것으로 귀착된다는 것이 발견되어 무한차원 리만기하학도 연구되고 있다. 상대론에서는 중력의 문제를 시공구조를 갖는 공간의 기하 문제로 해석하였는데, 이러한 시공구조를 갖는 공간을 연구하는 분야를 유사리만기하학이라 하여, 리만기하의 테크닉을 써서 활발히 연구되고 있다.
(2) 사교기하학(Symplectic Geometry) : 19세기에 해밀톤은 광학이나 역학의 방정식을 특별한 변수를 도입해서 표현하면 다루기 편해진다는 것을 발견하였는데, 이러한 해밀톤의 방정식을 연구하는 것이, 사교구조라는 일종의 기하학적 구조를 갖는 공간을 이해하는 문제로 재해석되면서 사교기하학이 탄생하였다. 사교기하학은 최근 대수기하학의 테크닉이 도입되면서 급속히 발전하고 있다.
(3) 복소기하학(Complex Geometry) : 임의의 유리함수의 적분은 로그와 역삼각함수만 써서 구할 수 있지만 무리함수의 적분은 다른 많은 매우 복잡한 함수들을 써야 한다. 리만은 각 무리함수마다 리만면이라 불리는 어떤 곡면을 대응시켜서, 무리함수의 적분 문제를 이 곡면의 복소구조의 기하학 문제로 바꾼 후, 이 기하학을 이용하여 무리함수의 적분에 관한 많은 문제를 해결하였다. 이와 같이 복소구조를 갖는 공간을 연구하는 것이 복소기하학이다. 리만은 대수기하학, 대수적 정수론 및 복소해석학이 리만면이란 개념을 통해 연결될 수 있음을 보였는데, 이와 같이 복소기하학은 수학을 하나의 통일된 유기적 구조로 연구하는 데 큰 역할을 하고 있다. 또한 최근 이론물리학의 트위스터 이론이나 끈 이론에서 우주를 구성하는 요소로 복소공간을 제시하면서, 이론물리학과 복소기하학의 많은 부분이 하나로 연결되고 있다.
(4) 기하학의 응용(Applications of Geometry) : 기하학은 시각적 모델이 가능한 모든 학문과 기술에 응용될 수 있다. 특히 우리 수학과에서는, 글꼴연구, 공학에의 이용, 경영학에의 이용, 확률론으로의 응용, 동역학계, 양자계산론 등이 다루어지고 있다.
위상수학 (Topology)
위상수학은 20세기초에 뽀앙까레 등에 의해서 생겨난 수학의 한 분야이다. 위상수학이란 어떤 대상을 연속적으로 변형시킬 때 변하지 않는 성질을 공부하는 것이다. 즉, 얼마든지 줄어들거나 늘어날 수 있는 이상적인 고무의 성질을 연구하는 것이다. 흔히 위상수학자들은 커피잔과 도넛을 구분할 수 없다고 하는데, 이것은 커피잔이 만약 수학적인 고무로 만들어져 있다면 도넛모양으로 연속적으로 변형시킬 수 있기 때문이다. 한편, 공과 커피잔은 위상적으로도 다르다. 이와 같이 위상수학에서는 공간의 추상적 연결구조를 정의하고 계량화하며 성질을 연구한다.
이 분야는 공간이란 개념을 수학적으로 정의함으로써 수학의 여러분야에 기초적이고 또한 유용한 방법론을 제시하였다. 예를 들어, 대수학에는 리 군이라는 연속군의 개념, 해석학에는 바나흐 공간 등 여러 공간을 이해하는 방법, 미분기하학에는 다양체 등 기하학을 논할 수 있는 공간을 제시하였다. 즉 19세기에 리만이 제창한 애매 모호한 공간이란 개념이 확실해짐에 따라 다양한 분야의 수학이 더불어 발전할 수 있었다. 이 리만 공간은 이후 아인슈타인의 일반 상대성이론의 시작점이 되며, 현재 수학자 펜로즈와 천체 물리학자 호킹의 빅뱅이론은 결국 이러한 아인슈타인 공간의 수학적 연구에서 시작한다.
위상수학 자체에서는 공간의 분류 등을 이해하기 위해서 대수위상과 호모토피 이론이 급속히 발달하였고, 가장 중요한 문제인 뽀앙까레 가설에 대한 연구가 활발히 진행되고 있다. 부수적으로 양-밀즈 방정식, 쌍곡기하구조론, 복소다양체론, 매듭론 등과의 관계가 연구되고 있다. 주요 연구분야는 다음과 같다.
(1) 점집합위상수학(Point-set Topology) : 위상수학을 시작한 이론으로서 집합론을 사용하여 공간을 정의하고 연구한다. 그 방법은 열린 집합, 닫힌 집합이란 개념을 이용하는 것이고 결국 연속성이란 개념을 정의한다. 미적분학 시간에 배우는 ε- δ는 연속성 개념의 시작점이다. 이 분야는 해석학을 공부하는데 기초적이기도 하다. 현재는 점이 없는 위상도 연구한다.
(2) 대수적위상수학(Algebraic Topology) : 다양한 위상공간을 분류하기 위하여 호몰로지이론 및 호모토피이론이 도입된다. 즉, 연속적인 변형에도 불변하는 성질을 대수적으로 정의하고 계량한다. 예를 들면, 오일러 지표를 이용하여 구와 평면이 위상적으로 다르다는 것을 보일 수 있다.
(3) 미분위상수학(Differential Topology) : 대수적 입장에서 본 여러 불변량을 미분다양체의 미분가능인 함수를 이용하여 다시 도출하면 훨씬 직관적인 이론을 전개할 수 있다. 예를 들면, 코호몰로지론을 미분형식으로 이해할 수 있고 위의 오일러 지표는 벡터장의 지표 계산으로 줄일 수 있다. 특히 모스이론 등이 여기에 해당하며 무한차원으로도 일반화되어 양-밀즈 이론에서 중요한 불변량을 주고 있다.
(4) 기하학적위상수학(Geometric Topology) : 2, 3차원 다양체의 위상구조를 이해하는 데 있어서 기하학적 구조의 중요성은 잘 알려져 있다. 로바체프스키 기하학구조를 가지는 3차원 다양체의 성질을 연구하는 것은 뽀앙까레 가설의 해결에 여러가지 단서를 주고 있다. 이 연구는 음의 리만곡률을 가지는 다양체의 연구로 일반화되는데, 대수학의 이산군의 연구에 중요한 영향을 미쳤다. 또한 전화선의 배치, 알고리즘연구 등 응용수학에도 이 분야의 연구가 로바체프스키 기하학, 측도론등 해석학을 사용하여 영향을 미치고 있다.
(5) 저차원다양체론 및 매듭론(Low Dimensional Manifold Theory and Knot Theory) : 여기서는 3, 4차원 다양체의 연구를 매듭이론 또는 조합론적인 방법으로 연구한다. 모든 3차원 다양체가 매듭에 수술을 하여 얻어진다. 특히 존스 다항식은 함수해석학으로 만든 매듭의 불변다항식인데 최근 이것이 물리학의 양자장과 깊은 관계가 있음이 알려졌고 또한 대수학의 양자군과의 관계가 밝혀졌다. 이 연구에는 조합론, 매듭이론, 대수학이 복합적으로 쓰이고 있다. 또한 4차원 다양체 연구에는 호모토피이론, 게이지장이론이 쓰이고 있다. 최근에는 물리학에서 도입된 4차원 다양체상의 사이버그-위튼 방정식의 해의 수가 4차원 다양체의 분류에 커다란 영향을 미치고 있다.
응용수학(Applied Mathematics)
응용수학이란 순수수학의 여러 결과나 방법들을 다른 자연과학이나 공학의 문제들을 해결하는데 이용하거나 또는 자연과학, 공학에서 파생된 수학적 문제들을 순수수학적 측면에서 접근하는 수학의 한 분야이다. 따라서 수학은 응용수학을 통해서 다른 자연과학이나 산업의 발전에 기여하게 되고 또한 수학 자체 내에서 발전 방향의 동기를 부여받기도 한다. 주요 연구분야는 다음과 같다.
⑴ 수치해석학 (Numerical Analysis) : 수치해석은 자연과학, 공학, 의학, 그리고 사회과학 등에 나타나는 문제들 중, 수학적인 문제로 표현될 수 있는 문제들을 궁극적으로 컴퓨터를 이용하여 해결하고자 하는 수학의 실질적인 응용분야이다. 폰 노이만 이래 현대 컴퓨터의 태동과 발전의 직접적인 견인차였던 수치해석은 자연현상의 이해, 실생활이나 우주탐험, 국방 등에서 필요한 예측결과를 강력한 컴퓨터를 통해 미리 알아 볼 수 있도록 도움을 주고 있다는 점에서 공학이나 자연과학에서 활발하게 이용되고 있다. 수치해석은 다양한 현실적인 문제의 해결에 직접적인 도움을 줄 수 있다. 수치해석에서 문제를 해결하는 과정을 크게 다음의 네 단계로 나눌 수 있다.
① 수학적 모형화 : 해결하고자 하는 문제를 역학, 생물학, 경제학 등의 기본 가설이나 법칙들을 사용하여 상 및 편미분방정식, 대수방정식 등의 수학적인 문제로 변형하는 단계
② 수학적 분석 : 수학적 모형화 과정을 거쳐 생성된 수학적 문제를 미분방정식, 함수해석학, 기하학 및 대수학 등 가능한 수학의 이론들을 적용하여 해의 유일성, 존재성 및 정칙성 등을 분석하는 단계
③ 수치적 분석 : 좁은 의미의 수치해석이라고도 할 수 있는데, 앞의 수학적 분석에서 다루어진 문제의 해가 존재하면, 이 해를 어떻게 컴퓨터를 이용하여 구할 것인가에 대한 수치적 알고리즘을 개발하고, 이 알고리즘을 적용하여 구한 해의 수렴성 판정 및 오차분석 등을 하는 단계
④ 수치 실험 : 실제로 가장 효율적인 수치 알고리즘에 따라 프로그램을 작성하여 원래 문제를 해결하는 단계
⑵ 산업수학 (Industrial Mathematics) : 산업수학은 수리과학 중에서 특히 최근 들어 급속히 발전하고 있는 중요한 분야라고 할 수 있다. 산업수학은 모든 문제가 통신, 반도체, 항공기, 자동차, 신소재, 컴퓨터 등 산업계의 연구개발에서 유래한다는 점이 특징적이다. 원래 산업수학은 편미분방정식, 동역학, 제어이론, 확률론, 통계학 및 이산수학에서 그 원리들을 가져온다. 산업수학의 목적은 산업에 나타나는 수학적 모형들과 그 과정들을 수학적인 이론과 수치계산을 통하여 보다 잘 이해하고자 하는 데 있다. 현재 수학과에서는 몇몇 기업과 협력하여 여러 산업수학적인 문제의 해결을 도모하고 있으며, 이러한 협력관계는 앞으로 더욱 확대될 전망이다.
⑶ 동역학계 (Dynamical System) : 동역학계 연구는 어떤 한 공간에서 자기 자신으로 가는 사상이 주어졌을 때 이의 궁극적인 성질을 연구하는 것인데, 이는 주어진 조건에 따라 위상적, 미분적, 해석적 역학계로 분리되며 각 분야마다 독특한 연구 방법과 주제가 있다. 아주 추상적인 면이 있는가 하면 지극히 구체적이기도 하고 방법에서도 선형대수에서부터 미분기하, 정수론에 이르는 다양한 수단을 빌려와야 한다. 또한 응용성도 강하여 수학에서만 아니라 전산학, 물리, 공학, 생태학, 사회과학에까지 깊게 응용된다.
⑷ 수리물리 (Mathematical Physics) : 물리학의 여러분야에서 나타나는 수학적 모형, 특히 편미분방정식의 해석학적 측면의 연구와 그 결과의 물리적 연계성을 연구한다. 유체역학, 기상학 등에서 발생하는 나비어-스톡스 방정식, 오일러 방정식, 부시네스크 형태의 방정식 등의 해의 존재성, 정칙성, 정성적 성질을 연구한다. 또한 초전도체이론과 게이지장, 중력장 등의 장론에서 나타나는 양-밀즈-힉스 방정식, 천-사이몬즈 방정식, 아인슈타인의 장방정식 등에서의 여러가지 솔리톤을 기술하는 편미분방정식의 해의 존재성이나 정성적 성질 및 기타 해석학적 문제를 연구하며, 이론적 결과의 물리학적 응용도 연구한다.
(5) 금융수학 (Financial Mathematics) : 최근에 들어 금융산업에서 수학의 역할이 빠른 속도로 커지고 있다. 각종 금융거래에서 발생하는 미래의 불확실성을 제어하는 옵션을 위시한 파생금융상품의 연구는 고도의 수학을 이용하녀 급격히 발전하고 있다. 또한 리스크관리, 최적 포트폴리오 구성 등 금융 산업계가 당면한 여러 과제의 해결에도 고도의 수학적 기법이 필요하게 된다. 금융수학은 이러한 문제들을 확률미분방정식, 편미분방정식, 확률최적제어이론, 수치해석 등 다양한 수학 분야의 방법론을 동원하여 해결함으로써 금융산업 발전에 기여하는 한편, 금융산업의 현장에서 제기되는 문제로부터 새로운 수학연구 과제를 도출하여 수학 벌전에 기여하는 것을 그 목표로 하고 있다.
(6) 역문제 (Inverse Problem) : 물체의 표면에서 나타나는 현상을 가지고 내부의 성질을 알아내는 문제를 통칭하여 역문제라 부른다. 병원에서 쓰는 단층촬영이 역문제를 응용한 예이다. 최근 편미분방정식이론, 포텐셜이론, 이론물리학 등 순수과학의 발전에 힘입어 역문제가 수학의 연구대상이 되기 시작하였는데, 세계적으로 많은 관심의 대상이 되고 있는, 비교적 새로운 분야라고 할 수 있다. 이 분야는 여러 가지 이론들이 종합적으로 이용되며 응용과도 밀접하게 연결되어 있어서, 이론과 실제의 협력이 다양하게 이루어질 수 있는 분야이다. 비파괴공학, 의공학, 석유탐사 등 그 가능성은 무한하다고 하겠다.
수학 분류
대수학(Algebra)
(1) 대수적 구조론(Algebraic Structures)
(2) 표현론 (Representation Theory)
(3) 정수론 (Number Theory)
(4) 대수기하학과 가환대수(Algebraic Geometry and Commutative Algebra)
(5) 응용대수학 (Applied Algebra)
해석학(Analysis)
(1) 복소해석학 (Complex Analysis)
(2) 함수해석학 (Functional Analysis)
(3) 비선형해석학 (Nonlinear Analysis)
(4) 편미분방정식 (Partial Differential Equation)
기하학(Geometry)
(1) 리만기하학(Riemannian Geometry)
(2) 사교기하학(Symplectic Geometry)
(3) 복소기하학(Complex Geometry)
(4) 기하학의 응용(Applications of Geometry)
위상수학(Topology)
(1) 점집합위상수학(Point-set Topology)
(2) 대수적위상수학(Algebraic Topology)
(3) 미분위상수학(Differential Topology)
(4) 기하학적위상수학(Geometric Topology)
(5) 저차원다양체론 및 매듭론(Low Dimensional Manifold Theory and Knot Theory)
응용수학(Applied Mathematics)
(1) 수치해석학 (Numerical Analysis)
(2) 산업수학 (Industrial Mathematics)
(3) 동역학계 (Dynamical System)
(4) 수리물리 (Mathematical Physics)
(5) 금융수학 (Financial Mathematics)
(6) 역문제 (Inverse Problem)